算术域的代数K-理论

Arithemtic fields consist of global fields and local fields. There are deep relations between the algebraic K-theory of aithmetic fields and many classical arithmetic invariants. The tame kernel of an arithmetic field F is the K2 group of the ring of integers of F. The previous research reveals that the density of the 4-rank of tame kernels of quadratic number fields satisfy the Cohen-Lenstra conjectures which was posted for ideal class groups. However much less is known for the 8-rank of tame kernels. This project is planed to study the density of the 8-rank of tame kernels of quadratic number fields and the 3-rank of the tame kernels of pure cubic fields. We will also study how to write the torsion elements of the tame kernels of the local fields in the form of cyclotomic elements. And we will generalize Qin's method to function fields. This project will give us better knowledge on the tame kernels of arithmetic fields and the computation of ray class groups and certain Diophantine equations.

算术域包括整体域和局部域。算术域的代数K理论与很多经典的算术不变量之间有着深刻的联系。算术域的驯核是指算术域的代数整数环的K2群。已有的研究证明二次数域的驯核的4-rank的分布规律符合理想类群的Cohen-Lenstra猜想.但是对其8-rank的分布规律，目前所知甚少.本项目计划研究二次数域驯核的8-rank的密度问题以及纯3次域的驯核的3-rank密度问题. 我们还将研究如何将局部域的K2群中的扭元素表示为分圆元素的形式。最后我们还将把秦方法从数域的情形推广到函数域的情形， 并研究函数域的驯核的密度问题。这项研究将会大大加深我们对驯核的了解，也有助于计算束类群和一些特殊的丢番图方程.

数域的K-理论与很多经典的算术不变量之间有着深刻的联系。数域的驯核是指的数域的代数整数环的K2群.已有的研究证明二次数域的驯核的4-rank的分布规律符合理想类群的Cohen-Lenstra猜想，但是对其8-rank，16-rank的分布规律，目前所知甚少. 本项目对于三次域的3-rank的上下界都给出了精确地描述. 而且我们证明了在上下界内的每一个值都可以精确地取到，另外，本项目还研究了二次域的驯核的16-rank，这是前人研究得比较少的。我们对于导子为37的椭圆曲线给出了其二阶K群的一个自由元素, 利用Steinberg 符号给出了其明确的表达式. 并且我们可以证明该自由元素是数域属于该椭圆曲线的整K2群的非平凡元素.我们做的这些研究大大加深了我们对于数域的驯核的了解，也有助于计算类群和一些特殊的丢番图方程。