Cowen-Douglas算子与算子权移位

The Cowen-Douglas operators and operator weighted shifts are two important special operator classes, and there are many close relations between them. The studies for this two operator classes will bring about a positive role in exploring the structure of linear operators and their applications. Meanwhile, these studies will also promote the intersects and mixtures of operator theory and algebra, geometry and topology. This project will be mainly devoted to study the relations of Cowen-Douglas operators with operator weighted shifts and their some properties. We will consider when a Cowen-Douglas operator is a weighted shift on some orthogonal basis and some Schauder basis respectively, and reflexivity of Cowen-Douglas operators and operator weighted shifts respectively, and dynamical properties Cowen-Douglas operators. Moreover, we will discuss some subjects from weighted shifts on infinite directed trees，and expect to put forward some new research subjects. The feature of this project lie in a united consideration of Cowen-Douglas operators and operator weighted shifts, so that to produce a promotion and complement each other.

Cowen-Douglas 算子与算子权移位是算子理论中两类重要的特殊算子类，二者之间有密切的联系. 关于这两类算子的研究将对探索线性算子的结构及其应用产生积极的作用，同时也将促进算子理论与代数、几何、拓扑等其它领域的交叉和融合. 本项目主要研究Cowen-Douglas算子和算子权移位的关系及它们的若干性质. 拟研究Cowen-Douglas算子何时成为加权移位（包括正交基和Schauder基的情形）；Cowen-Douglas算子与算子权移位的自反性； Cowen-Douglas算子的动力性质. 此外，研究无穷有向树上的加权移位算子等问题，期望提出新的研究课题. 本项目的特色在于将这两类算子统一考虑，以起到互相促进、互相补充的作用.

本项目研究Cowen-Douglas 算子及算子权移位的性质和相关问题. 主要内容如下.（1）算子在强不可约意义下的极分解. 证明了对任意无穷维Hilbert空间上的有界线性算子 T和a>0,都存在部分等距算子U和强不可约算子S, 紧算子K, 使得T=(U+K)S, 其中K的范数小于a.（2）Cowen-Douglas 算子何时是移位. 我们给出了一重 Cowen-Douglas 算子成为 Markushevich 基上移位的刻画. 证明了 Bergman空间上以 Mobius 变换为符号的乘法算子之伴算子是 Markushevich 基上的后向移位. (3) Novikov 猜想. Cowen-Douglas 算子无论从其背景还是研究方法上都与几何及拓扑有密切关系. 我们考虑了相对 Strong Novikov 猜想. 给定两个可数离散群 G和 H 以及G 到H的一个群同态, 我们构造了群G和H的相对K-同调, 进而造出相对K-同调到相对群C*代数的assembly 映射 μ. 我们证明了若 G 是A-T-menable 群, 并且 H 可以一致粗嵌入到Hilbert 空间, 则μ 是单同态. 作为应用，我们得到相对 Novikov 猜想对于 G 是A-T-menable 群, 并且 H 可以一致粗嵌入到Hilbert 空间 是成立的.（4）模李超代数的结构. 我们得到了L-型李超代数的一个特性及Γ-型李超代数在同构意义上的分类. 讨论了Γ-型李超代数的结合型及限制性. 定义了O-型李超代数, 证明了其单性, 确定了其生成元集, 进而确定了其超导子代数, 并证明了其与已知的Cartan型模李超代数都不同构.