若干典型空间的结构及子流形的刻画与分类研究

The geometry of submanifolds is an important branch of the differential geometry, closely related to analysis, topology and algebra. In this area, submanifolds of some canonical ambient spaces (say real or complex space forms etc) are always the interesting objects for study. To mention a few, we have, as is known,the (Lagrangian) minimal submanifolds, self-shrinkers of the mean curvature flow, the isoparametric hypersurfaces and the conformal geometry of higher codimensional submanifolds in the real (Lorentzian-) space forms. The present project mainly studies the geometric or algebraic structures of a class of canonical ambient spaces and the induced geometric structures on some special subspaces, paying more attention on the characteristic features of these induced structures and their interactions, and also on the classification and rigidity problems for some special submanifolds (such as the self-shrinkers and their generalization--$\lambda$-submanifolds, etc). On the basis of the previous achievement, our group members are going to do the research systematically on the geometric or algebraic structures (say, the affine structure, the conformal structure and the structure of Lie algebras etc), and on some important invariants (the affine or conformal/Moebius metrics, the f-Ricci tensors and the Blaschke tensors).The goal of this project is to obtain some characterization theorems of specific favor, some classification theorems and rigidity theorems.

子流形几何是微分几何的一个重要分支，它与分析、拓扑、代数等学科密切相关。一些典型的外围空间（如实的或复的空间形式等）的子流形是该分支的重要研究对象。 在这方面，熟知的主要研究对象有（Lagrangian）极小子流形、平均曲率流的自收缩子解、等参超曲面及一般高余维子流形的共形几何等。本项目主要研究一类典型外围空间的几何或代数结构及其在某些特殊子空间上所诱导的几何结构，重点讨论这些诱导结构本身的几何特性及相互之间的内在联系，同时关注部分特殊子流形（如自收缩解及 $\lambda$-子流形等）的分类问题和刚性问题。在前期工作的基础上，项目组成员将对这些自然诱导的几何或代数结构（如仿射结构、共形结构、李代数结构等）、以及部分重要的不变量（如相应的仿射或共形黎曼度量、f-Ricci张量及Blaschke张量等）进行深入系统的研究。任务目标是要建立一些具有鲜明特色的特征刻画定理、分类定理或刚性定理。

子流形几何是微分几何的一个重要分支，一些典型的外围空间（如实的或复的空间形式等）的子流形是该分支的重要研究对象。 在这方面，熟知的主要研究对象有（Lagrangian）极小子流形、平均曲率流的自收缩子解、等参超曲面及一般高余维子流形的共形几何等。根据项目的申请书及目标任务书所设定的研究内容和研究目标，本项目主要研究一类典型外围空间的某种几何或代数结构及其在某些特殊子空间上所自然诱导的几何结构，重点是深入地讨论这些诱导结构本身的几何特性及相互之间的可能联系；同时，特别关注一些特殊子流形（如平均曲率流的孤子解及其推广）的分类问题和刚性问题。在项目获批以后的四年以来，项目负责人及课题组的其他成员围绕相应的研究目标和内容积极开展工作，获得了一系列有意义的研究成果：总共发表学术论文四十余篇, 其中有三十六篇在SCI或SCIE源期刊上发表，五篇在中国科学、数学年刊等国内一级核心期刊上发表。在本项目的执行期间，我们主要地是在一典型乘积空间中的$f$-极小超曲面的刚性和稳定性问题、广义的自收缩孤子和广义的平移孤子的分类及变分刻画、欧氏空间中子流形的共形平均曲率流、标准高斯空间中子流形的平均曲率流、仿射超曲面（仿射等参函数和仿射等参超曲面的关系、具有平行Fubini-Pick形式的Calabi超曲面的分类等）、微分算子的特征值估计、以及黎曼流形上一类曲率函数的临界度量等方面进行了深入的研究。特别是，项目负责人在有关平行曲率流的广义孤子解的变分刻画及一些分类问题、标准高斯空间中平均曲率流的定性分析、仿射等参函数的引入及其与仿射等参超曲面的密切关系等方面取得了较大的进展，所得成果为下一步相关方面的研究奠定了基础。此外，项目组的其他成员按照事先确定的计划，围绕着各自负责的子课题都进行了认真而卓有成效的研究工作。比如：黄广月教授在微分算子的特征值估计及曲率泛函的临界度量等方面的研究、许瑞伟副教授对于具有平行Fubini-Pick形式的Calabi超曲面的分类和Lorentz空间中平移孤子解方面的研究等都获得了十分有意义的成果。综上所述，本项目的研究目标在整体上已经得到了完全实现。