代数动力系统及其应用

Our programm will focus on the dynamical systems on the p-adic Mobius maps, namely the dynamical properties of the subgroups of the p-adic Lie group PSL(2,C_{p}), and its application on the p-adic continued fractions. The following questions will be studied throughly: 1)Study the ergodic theory of the discontinuous subgroups of the hyperbolic Berkovich space; 2)Study the algebraic and geometric convergence of the subgroups of PSL(2,C_{p}), and the relation between the algbraic convergence and the limit sets of discrete subgroups; 3) Derive the equalities of the element in PSL(2,O_{p}) between the maxtrix, hyperbolic, chordal and unitary norms, and inequalities of p-adic Mobius maps between matrix, hyperbolic, chordal , three point and unitary norms; 4)Study the convergence theorem of p-adic Mobius maps, and the relation between the uniform metric and the matrix norm; 5)Study the property of p-adic continued fractions by the convergence theorem of p-adic Mobius maps.

本项目主要研究p-adic Mobius变换的动力系统，即p-adic李群PSL（2，C_{p}）中的元素构成的群的动力系统性质，以及它在p-adic 连分数中的应用。我们将深入研究如下几个问题：1）研究双曲Berkovich空间上的真间断群在Berkovich空间上的遍历理论；2）以Berkovich空间为工具，通过对测地线的结构分析来研究p-adic李群PSL（2，C_{p}）离散子群的代数收敛性，进一步刻画代数收敛性与极限点集的关系；3）揭示PSL（2，C_{p}）中具有good reduction性质的子群中元素的范数与双曲几何，球几何和一致度量的关系；4）研究p-adic Mobius变换的一致度量和矩阵范数的关系，利用这个关系研究函数列的收敛性；5）使用p-adic Mobius变换的函数列收敛性研究p-adic连分数的性质.

代数动力系统是一个新兴的方向，在非阿基米德域上做动力系统问题。由于底域不同，所以，结果和复或者实情况完全不同。.本项目主要研究p-adic Mobius变换的动力系统，即p-adic李群PSL（2，C_{p}）中的元素构成的群的动力系统性质，以及它在p-adic 连分数中的应用。同时，我们研究了函数迭代系统极限集的一些问题，同时将底域从Cp逐步走向了函数域，为下一步研究做了铺垫。.在《On p-adic Mobius maps》中创造性的以Berkovich空间为工具，通过对测地线的结构分析揭示PSL（2，C_{p}）中.具有good reduction性质的子群中元素的矩阵范数与双曲范数，球范数和一致度量的关系。.在《On algebraic convergence of non-elementary discrete subgroups of $\mathrm{SL}(2,\mathbb{Q}_{p})$》来研究p-adic李群PSL（2，C_{p}）中特殊的离散子.群的代数收敛性，进一步刻画代数收敛性与极限点集的关系；.在《On dynamics of p-adic Mobius semi-groups》中使用p-adic Mobius变换的函数列收敛性以及半群的遍历性理论研究p-adic连分数的性质，得到了重要的Gustav定理在p-adic情况下的推广；.在《On the discrete criteria and J\o rgensen inequalities for $\mathrm{SL}(m,\overline{\mathrm{F}}((t)))$》中将以往在p-adic域中的工作推广到了一般的函数域中；.同时在《on metrical properties of Julia sets of analytical maps with translations in the non-archimedean spaces》中将迭代函数系统的极限集的概念推广，提出了极限集和Julia集两种不同概念，同时得到了含有平移元素的极限集是全空间，而Julia集拟对称等价于标准Cantor集。