一维非均匀非线性系统的波包扩散性质的研究

Recently, owe to the impressive technological progress in experiments with cold atoms, the experimental studies on Bose-Einstein condensates(BECs) expansions in the optical lattices have been one of the most active fields. The evolution of BECs can be described by the Gross-Pitaevskii(GP) equation, which includes a cubic nonlinear term that represents the mean-field interaction. Therefore, the theoretical work on the complex nonlinear systems has drawn a great deal of attention. One of the important topic of this field is to study the diffusion properties of wave packet. Recent research in this field primary focuses on the spatial uniform distribution of nonlinearity. On the experimental side, other spatial distributions of nonlinearity have been modulated in BECs by dint of the Feshbach resonances through nonuniform magnetic fields. Thus, in this project, we will study the propagation properities of wave packet in disordered chain, in quasiperiodic chain, and in nonuniform chain that has hyperdiffusive behavior with various spatial distributions of nonlinearity, respectively. The results not only can provide common ground for understanding transport properties but also can be useful in motivating and guiding experiments on the expansion of BECs in optical lattices and hence has great academic value both on the theoretical and experimental sides.

随着冷原子技术的发展，玻色-爱因斯坦凝聚体（BECs）在各种光学势场中膨胀的实验成为当今的一个研究热点。在理论上，BECs的膨胀过程可以用Gross-Pitaevskii(GP)方程描述，这个方程中出现了由平均场近似而产生的非线性作用项。因此，对这类非线性系统的理论研究正受到极大的关注。其中一个重要的领域是对波包扩散性质的研究。目前，对该领域的研究主要集中于空间均匀的非线性作用的情况。而在实验上，已经可以调制出其它分布类型的非线性作用。为此，本项目将采用数值模拟的方法研究：无序链、准周期链、以及具有超级扩散(Hyperdiffusion)行为的非均匀链在各种分布类型的非线性作用下的波包扩散性质。通过这些研究，不仅可以掌握这类复杂系统所具有的输运行为，而且可以为BECs等实验的开展提供指导，在理论上和实验上都具有重要的学术价值。

首先，研究了各类空间分布非线性作用对均匀链波包扩散的影响。研究发现，对于空间均匀分布非线性作用，随着非线性强度的增加，波包在扩散过程中分别出现了运动的孤子(solitons)现象、完全扩散现象和自限(self-trapping)现象。对于空间周期分布和无序分布的非线性作用，随着非线性强度的增加，波包的扩散分别会出现完全扩散现象和自限现象。均匀非线性作用中出现的运动的孤子现象没有出现。而对于空间准周期Fibonacci分布的非线性作用，随着非线性强度的增加，波包的扩散会分别出现了完全扩散现象、运动的孤子现象和自限现象。. 其次，对Frenkel-Kontorova(FK)模型中的热化性质进行了研究。研究发现，在Fermi-Pasta-Ulam(FPU)模型中观察到的亚稳态，在FK链中不存在。我们进一步研究了热力学极限下，FK链达到热化的时间 与非线性强度以及能量密度的标度行为，发现与FPU也是明显不同的。最后，我们对这个标度行为给出了定性的解释。. 然后，对Toda链在无序作用下的热化性质进行了研究。已有的研究表明，Toda链是不能热化的。而加入无序在位势之后，系统可以达到热化。说明无序可以破坏系统的可积性。随后研究了热力学极限下，系统达到热化的时间与非线性强度以及能量密度的标度行为。发现热化时间与非线性强度和能量密度都是满足幂指数关系的。随着无序强度的增加或者初始激发模数量的减少，指数的值会随之增加。. 最后，对Toda链在Fibonacci准周期作用下的热化性质进行了研究。发现加入准周期在位势之后，系统可以达到热化。说明准周期作用也可以破坏系统的可积性。随后研究了热力学极限下，系统达到热化的时间与能量密度之间的标度行为。发现热化时间与能量密度满足幂指数关系，但是指数的值与势能强度和非线性强度无关。. 我们相信，这些研究成果对于掌握低维复杂系统中的输运性质，指导实验的开展具有重要的参考价值。