修正偶应力弹性微梁板的精确理论

本项目从弹性力学严格化的角度，以修正偶应力弹性通解的研究为出发点，系统研究弹性微梁板的精确理论。首先借助共轭算子理论，给出二维和三维修正偶应力弹性力学的恰当通解并证明其完备性；然后利用该通解，不作任何预先假设，采用Lur'e符号算子方法研究微梁板的精化理论，分别给出自由表面和载荷表面条件下的精确方程和近似控制微分方程；通过引入一些引理，给出微梁板的分解定理，并证明其与精化理论的等价性；利用弹性互易定理和修正偶应力弹性通解，构造满足Saint-Venant 原理的微梁板的边界条件。上述精确理论能够满足弹性理论的所有方程，比微梁板的各种实用近似理论普适性更强。此外，在上述精确理论的基础上，给出一些典型算例，以说明精确理论与已有理论的差别和优点所在，并探讨微梁板的尺度效应。本项目的顺利实施将进一步丰富和完善梁板的精确理论，同时也可为微、纳机电系统的设计和优化奠定理论基础。

鉴于纳米微梁板在生物微传感器等领域具有广阔的应用前景，本项目以此为研究对象，就其力学性能所表现出的尺度效应和大变形行为进行了深入探讨。从弹性力学严格化的角度，系统研究了弹性微梁板的精确理论。首先，我们给出了修正偶应力和非局部弹性力学问题的通解。在此基础上，采用Lurie算子方法构造了非局部微梁板的精化理论，并根据算子微分的特性，得到了控制方程的普适解法；利用弹性互易定理和位移形式通解，构造了满足Saint-Venant原理的微梁板的边界条件，该方法也进一步完善了Gregory的边界条件理论。此外，针对弹性微梁的大变形问题，我们采用非局部弹性理论和弹性线理论进行了分析，并发展了相应的解析算法和数值求解算法。据此对具初始缺陷微梁的稳定性进行了分析；编制了可高效处理柔性梁几何非线性问题的有限元程序，依此程序对柔性立管在复杂载荷环境中的结构力学特性和响应进行了精细研究。最后对一些微分方程解的渐近性进行了分析。以上对弹性微梁板的研究具有比较明显的创新性，所获结果具有新意。