非交换概率空间中若干随机矩阵渐近自由独立性研究

The asymptotic free independence property of random matrices is a research focus in Non-commutative probability theory. However, as so far, most works in this field are based on random matrix with entries in a commutative algebra. The study on asymptotic behavior of random matrices with non-commutative entries is still in the initial stage, and it needs to be further studied. This project will pay close attention to the deep study of some interesting results for the case when the entries are not commuting via free cumulant, non-crossing partition and Cauchy-Stieltjes transform techniques. More precisely, we will study asymptotic free independence, second order asymptotic freeness and higher order asymptotic freeness of random matrices with identically distributed and free independent R-diagonal (respectively, non-commutative dependent, non-commutative martingale structure) entries. The main results of the project will play an important role in developing the second order free probability theory, and promoting the theory of non-commutative probability and random matrix.

随机矩阵渐近自由独立性问题已成为非交换概率理论的研究热点与前沿。到目前为止，对随机矩阵渐近自由独立性的研究主要是基于随机矩阵的元素为可交换随机变量，而关于非交换随机变量组成的随机矩阵渐近自由独立性研究尚处于起步阶段，亟需对其进一步的探索与研究。我们将运用自由累积、非交错分拆、Cauchy-Stieltjes变换等工具深入研究非交换随机变量构成的随机矩阵渐近自由独立性问题。更确切地说，本项目将研究自由独立同分布R-对角非交换随机变量组成的随机矩阵渐进自由独立性、二阶及高阶渐近自由独立性；不全为自由独立同分布的非交换随机变量组成的随机矩阵渐近自由独立性、二阶及高阶渐近自由独立性；满足鞅性质的非交换随机变量组成的随机矩阵渐近自由独立性、二阶及高阶渐近自由独立性。该项目所得相关结论对二阶自由概率理论的建立将起着重要推动作用，也对非交换概率与随机矩阵理论的发展具有重要意义。

非交换概率，或量子概率，是研究非交换随机变量的数学分支，是泛函分析与概率论交叉学科中崭新且富有活力的一个重要研究领域。它起源于算子理论，同时与表示论、组合论、图论、概率论及随机矩阵有着密切联系。目前非交换概率在其它领域有着广泛应用，它是量子力学、量子统计及量子信息理论的研究基础。. 经过三年努力，本项目得到了几项基本且重要的成果：我们首先得到了自由独立同分布的R-对角非交换随机变量的随机矩阵与其广义转置的渐近自由独立性、二阶及高阶渐近自由性。扩展了元素是自由独立且满足半圆率的随机矩阵渐近自由独立性的相关结论；其次，建立了元素不全为自由独立同分布的非交换随机变量组成的随机矩阵的渐近自由独立性、二阶及高阶渐近自由独立性；然后，我们证明了一类新的Hermite-Hadamard不等式，对Hilbert空间上一类广义算子凸函数的积分进行了估计；此外，我们减弱了前人关于Lorentz-Kamata空间和弱型鞅空间上的鞅不等式、对偶以及分数积分算子有界性等结论成立的条件限制，扩展了已有定理的适用范围；最后，我们刻画了一类非经典空间—Grand型空间的原子分解、John-Nirenberg不等式、广义分数阶积分算子有界性等。以上初步成果将对二阶自由概率理论的发展起到一定推动作用，也对非交换概率、鞅空间理论的相关研究提供新视角与方法。