典型李群酉表示的强盖尔范德对分歧律

The branching problems for irreducible unitary representations of classical Lie groups are the key and hot issues of representation theory, with close relations to Langlands program and many other branches of mathematics, corresponding to the symmetry breaking phenomenons of theoretical physics. On the branching laws for infinite dimensional irreducible representations, results up to now are mainly for minimal representations. Based on the applicant's previous work on explicit computation of theta correspondence, and Hongyu He's proof of the local GGP conjecture for discrete series of U(p,q), this project target a exploration of branching laws for (SO(p,q+1),SO(p,q)). We are going to construct some kind of Zuckerman derived functor module and study the branching information of them on different subgroups. The main methods are computational techniques of the theta correspondence and cohomological inductions of representations of Lie groups。We hope to obtain laws out from a large number of concrete calculation examples, so as to obtain a partial or even complete proof of the GGP branching laws. The calculation of K-types can be implemented by Atlas software. We first consider the simple cases of holomorphic discrete series, and then extend results to more discrete series representations or Zuckerman derived functor modules, and for other strong Gelfand pairs suggested by the Multiplicity One theorem.

李群不可约酉表示的分歧问题是表示理论研究的一个核心热点，与朗兰兹纲领及其它数学分支关系密切，对应着理论物理的对称破缺现象。关于无穷维不可约表示在非紧子群上的分歧律，已知结果大多针对极小表示。基于申请人前期关于theta对应精确计算的工作以及何宏宇对U(p,q)离散序列局部GGP猜想的证明，本项目试图探索(SO(p,q+1),SO(p,q))的分歧律，通过theta对应构造某类Zuckerman导出函子模，并分析其在不同子群上的分歧信息，以部分验证乃至完全证明离散序列由局部GGP猜想所刻画的分歧律。项目主要使用theta对应精确计算技术与李群表示上同调诱导方法，从大量具体实例验算寻找规律，其中具体K-type的计算可用Atlas软件实现。项目将首先考察相对简单的全纯离散序列表示，然后试图推广到更多的离散序列表示或Zuckerman导出函子模，并考察典型李群的其它强盖尔范德对的分歧律。

李群不可约酉表示的分歧问题是表示理论研究的一个核心热点，与朗兰兹纲领及其它数学分支关系密切，对应着理论物理的对称破缺现象。关于无穷维不可约表示在非紧子群上的分歧律，已知结果大多针对极小表示。基于申请人前期关于theta对应精确计算的工作以及何宏宇、薛航对实酉群上局部GGP猜想的证明方法，我们通过具体的参数计算，部分地验证了局部GGP猜想对较小的特殊实正交群上的某些离散序列表示成立。另外，我们对典型实李群theta对应的精确计算得到了一些新的结果。作为使用科学计算软件的副产品，我们还解决了有限域上7次与8次置换多项式的分类问题。