某些随机分形集的一致维数及Assouad维数

Fractal properties of random sets have become significant part of the theory on random fields (processes) since the pioneering works on Brownian motion and levy processes by Levy and Taylor. There is a huge literature on the fractal dimensions of random sets. But the usual dimensional results cannot provide effective information for some complicated random sets. Therefore, Kaufman introduced the so called uniform dimensions. The uniform dimension results can profoundly and comprehensively reflect the constructions and geometry properties of the corresponding random fields (processes). Our projection plans to explore the geometric constructions of some random fields (processes) by studying the uniform fractal dimensions (including Fourier dimension, Hausdorff dimension and packing dimension) of their image and graph sets and the related problems. This a research topic overlapped by random fields (processes), fractal theory and Fourier analysis of measures. We expect to establish the uniform fractal dimension results of some important random sets, obtain the modified Assouad dimensions of some (random) sets and explore the deeper relationships between modified Assouad dimensions and uniform fractal dimensions.

自从Levy 和Taylor 在上世纪五十年代首先研究了Brownian运动和Levy过程的分形性质以来，随机集的分形性质研究成为随机场（过程）的一块重要理论，已有大量文献研究随机集的分形维数。但对很多复杂的随机集，通常的维数结果提供不了有效信息。为此，Kaufman引进了一致分形维数这一概念。随机集的一致分形维数能更全面深入地反映相应随机场（过程）的结构和几何性质。本项目拟通过对一些随机场（过程）像集、图集的一致维数（包括Fourier维数、Hausdorff维数、填充维数）及与之相关问题的系统研究，更好地探索和了解相应随机场（过程）的几何结构。本项目是随机场（过程）、分形理论及测度Fourier分析的交叉研究。预期建立一些重要随机集的一致分形维数结果，得到一些（随机）集合的修正Assouad维数, 探索修正Assouad维数与一致分形维数之间更深入的联系。

本项目主要研究了以下三方面内容：1. Assouad维数在分形几何领域有广泛的应用。 我们通过建立一致Cantor集的Assouad维数公式, 证明了乘积集Assouad维数的某种介值性。测度的Fourier系数的衰减性往往可以反应这个测度很多信息，因而具有重要的研究价值。比如，一些研究表明分形集是否含有算术级数与其上支撑测度的Fourier变换系数衰减速度有关。而集合是否含有算术级数对了解其几何结构具有重要意义。借助于Assouad维数及调和分析中的手段，我们证明了一类分形集含有任意有限长算术级数的充分必要条件。非原子的coin-tossing测度的Fourier系数一般来说在无穷远处并不衰减到0. 我们证明了其Fourier系数可以沿着某些整数序列衰减到0. .2. 两个分形集合的交集往往也是分形集，但是其Hausdorff维数很难确定。我们利用构造齐次Moran子集的办法得到了两类典型分形集合交集的维数，验证了分形交集维数猜想公式是成立的。 最长配对序列在生物信息，信息科学等领域有广泛应用，比如可以用它来比较两个DNA序列的相似度。我们建立了N进制展式中最长配对序列的一个渐进定理，并且计算了最长配对序列速度遵循某种规律的点集的Hausdorff维数。3. 加倍测度在分形几何和几何分析领域扮演着重要角色。 自从1989年Tukia证明了集合[0,1]的拟共形同胚可以很奇异后，很多学者研究加倍测度的胖集(对所有加倍测度，其测度大于零)和瘦集(对所有的加倍测度，其测度等于零)。我们证明了满足开集条件的自仿集相对于同性的(isotropic)加倍测度是廋的，其中Baranski地毯相对加倍测度是廋的。由b-进制定义的Borel正规数集是 Lebesgue满测的，但是我们证明了Borel正规数相对于[0,1]上的加倍测度不是胖的。 此外，我们构造了欧式空间单位正方块上的加倍测度使得其对应的下点态维数分布为满足某些条件的非负、递增的右连续函数。此结果为加倍测度的丰富性提供了一类例子。