怪波和尖峰孤波的相关问题研究

The rogue wave solutions of nonlinear wave equation are found and integrable system with peakon solutions are studied in this work. For the former topic we try to improve the known methods to solving the rogue wave solution and establish the simple approach to deriving the rogue wave solution. We can obtain the novel rogue wave structures and observe the dynamic behaviors of rogue wave phenomenon. For the latter topic we search integrable system with peakon solution and investigate its integrablity, such as Lax pair, Hamiltonian structure, conservation law, Painléve test, and so on. With the help of distribution theory, we give analytic solutions of these integrable system, in which peakon solution is a kind of important weak solution.

本项目一方面寻找非线性波方程的怪波解，另一方面研究具有尖峰孤波的可积系统。对前者致力完善已有的求怪波解的方法，并创建推导怪波解的简便途径，依此发现和获得新的怪波结构，进而考察怪波的动力学特征，达到解释非线性现象的要求。拟研究高维非线性波方程和变系数非线性方程的怪波解。对后者探索具有尖峰孤波的可积系统，研究它的可积性质，如Lax对、Hamiltonian结构、守恒律、潘勒卫测试等。借助广义函数理论给出此类可积系统的解析解，特别是尖峰孤子解为一类重要的弱解。

怪波和尖峰波是两种典型的非线性波，关于它们的研究有助于理解例如怪波，湍流，飓风，海啸等极端现象，引发学界的广泛关注。该项目基于计算机符号计算方法在非线性波领域开展研究，具体采用 Darboux 变换方法和双线性导数方法，探索了非线性波方程的解及其可积性质，并获得重要结果如下： . (1)研究了一个两分量修正短脉冲系统，从中约化出一对修正短脉冲方程，为该修正短脉冲方程与短脉冲方程建立了联系，并利用互反变换和达布变换求得该两分量修正短脉冲系统的光滑孤子、尖孤子、环状孤子及呼吸子解等。 . (2)构造了5阶和6阶非线性Schrödinger方程以及AB系统的椭圆函数周期波背景下的怪波解，揭示了怪波现象的一些特性。. (3)基于双线性导数方程，提出构造K阶lump、L呼吸波和M孤子混合非线性波解的统一公式。. (4)基于一个广义3*3矩阵谱问题，推导出含任意光滑函数的五分量非线性新可积系统。适当选取该任意函数，约化出一个四分量反应扩散方程和一个四分量mKdV方程，应用达布变换求得四分量方程的孤波解。. (5)利用分部理论研究了一个新的n分量Camassa-Holm方程的多重尖峰孤子解。统一考察了该n分量Camassa-Holm方程的单尖峰孤子解，分三种情形分别研究了二重尖峰孤子解。. 本项目执行期间，项目组发表学术论文29篇，其中SCI检索期刊论文21篇，获学校科研成果奖1项，作学术报告10余人次。本项目的成果长足地发展了符号计算方法在可积系统领域的应用，丰富了数学物理学的研究内容，为研究非线性科学提供了新的途径和工具。