Birkhoff系统的离散最优控制理论及其应用

The project mainly studies the discrete optimal control theory for Birkhoffian systems to solve optimal control problems more accurately and efficiently, based on structure preserving algorithms. Usually, optimal control problems rely on numerical rather than analytical solving methods, due to their nonlinearity. The direct method, one of the numerical solving methods, is mainly to transform the optimal control problem into a nonlinear optimization problem with finite dimensions, via directly discretizing the objective functional and the forced dynamical equations according to traditional difference schemes. Drawing on the idea of the direct method, this project employs structure preserving algorithms for Birkhoffian systems, which are more accurate and efficient than classical difference schemes, to approximate the forced dynamical equations. This way can give more faithful optimization problems and consequently yield more accurate discrete optimal control. Besides constructing the discrete optimal control framework for Birkhoffian systems, the project ulteriorly attempts to overcome the major limitation of existing numerical solving methods for optimal control problems, namely the restriction to local optimality. By utilizing the presented discrete optimal control method and combining it with the motion planning technique, the project seeks to efficiently solve the initial guess problem for nonlinear optimization, and give a feasible strategy for finding the global optimal solution of optimal control problems.

本项目主要基于Birkhoff系统的保结构算法研究Birkhoff系统的离散最优控制理论，进而实现更加精确有效地求解最优控制问题。通常，由于非线性，最优控制问题往往依赖于数值求解而非解析求解。直接法作为数值求解方法之一，主要是通过利用传统差分格式直接离散目标泛函和受控运动方程，将最优控制问题转化为一有限维的非线性规划问题进行求解。借鉴直接法的求解思想，本项目拟采用更加精确有效的Birkhoff系统的保结构算法近似最优控制问题中的受控运动方程，通过诱导更加真实的非线性规划问题来获得更加精确的离散最优控制。除了构建上述Birkhoff系统的离散最优控制框架，本项目进一步致力于突破现有数值求解最优控制问题方法的局限性，即局部最优性，通过将所发展的离散最优控制方法与路径规划技巧相结合，有效解决求解非线性规划问题时所涉及的初值选取问题，进而确定出一个数值求解最优控制问题全局最优解的可行方案。

在航空航天、机械制造等诸多领域都会涉及到最优控制问题。通常，由于非线性，解析求解最优控制问题是非常困难甚至是不可能的，因而大多借助于数值手段。数值求解最优控制问题主要是通过直接离散目标泛函和受控运动方程将最优控制问题转化为一有限维的非线性规划问题进行求解，因此，受控方程的离散精度直接决定了非线性规划问题乃至最优控制的准确性。而采用传统差分格式离散受控方程，不可避免地会带来人为的数值耗散，降低非线性规划问题的真实性，从而影响所求得的离散最优控制的准确性。.鉴于此，本课题将最优控制问题中的受控运动方程纳入到Birkhoff系统的框架下，利用Birkhoff系统的保结构算法进行离散，那么所得到的非线性规划问题，由于离散过程保持了系统原有的几何结构，就能更加精确地近似原始最优控制问题，进而衍生更加精确有效的离散最优控制策略。以此思路为指导，本课题构建了Birkhoff系统的离散最优控制理论框架。通过利用经典积分逼近格式离散最优控制问题中的目标泛函、利用受控（广义）Birkhoff系统的离散变分差分格式离散最优控制问题中的受控运动方程、对照连续最优控制问题和离散非线性规划问题合理匹配边界条件，将最优控制问题转化为有限维的非线性规划问题进行求解。离散过程自然且易于程序化实现，所得非线性规划问题形式较为固定也易于采用成熟的非线性规划方法求解。将所发展的Birkhoff系统的离散最优控制理论应用于航天器交会对接模型，该方法在较大时间步长（对应于较为粗糙的节点划分）的情况下依然求得了能够实现对接的离散最优控制策略，有效性不仅得到了验证，潜在的应用价值也得以体现。.除此之外，课题针对高维非线性规划问题的求解提出了保结构线性化的求解思路，针对力学系统变分积分子的构造发展了局部路径拟合方法。