分数阶Birkhoff系统的变分积分子和最优控制

The Birkhoffian system is a kind of natural generalization of Hamiltonian system. It can contain more dynamical systems and be applied to more extensive fields. Firstly, from the discrete fractional Pfaff–Birkhoff variational principle, the discrete fractional Birkhoffian equations and generalized Birkhoffian equations will be derived in this program. Further, based on the variational integrators, the numerical schemes will be constructed for the fractional Birkhoffian system. The stabilities, convergence, structure-preserving, etc., of the numerical methods will be discussed.. Secondly, the general formulation of optimal control problems for fractional Birkhoffian models will be developed. The fractional Birkhoff-type control equations will be derived from the fractional variational principle. The numerical schemes, which will be used to solve the optimal control program, will be constructed based on the variational integrators. Moreover, the stabilities and convergence of the numerical methods will be considered and the symmetries and conserved quantities of the new models will be investigated.

Birkhoff系统是Hamilton系统的一种自然推广，能够包含更多的动力学系统，应用到更广泛的领域。首先，本项目拟由离散分数阶Pfaff–Birkhoff变分原理，导出离散型分数阶Birkhoff方程和广义Birkhoff方程，进而构建基于变分积分子的分数阶Birkhoff系统的数值算法，并研究其稳定性、收敛性、保结构等问题。. 其次，提出分数阶Birkhoff模型的最优控制问题的一般表示，由分数阶变分原理导出相应的分数阶Birkhoff形式的控制方程，基于变分积分子构建求解该最优控制问题的数值方法，讨论其稳定性和收敛性，研究新模型的对称性与守恒量等问题。

Birkhoff系统是Hamilton系统的一种自然推广，能够包含更多的动力学系统，应用到更广泛的领域。相关的研究具有重要的科学意义。. 本项目主要研究内容、重要结果如下：. 研究了分数阶Birkhoff系统的变分积分子。给出分数阶Pfaff-Birkhoff原理，由此导出了Riemann-Liouville分数阶导数意义下的分数阶Birkhoff方程；在变分积分子的框架下，通过利用移项Grünwald-Letnikov分数阶导数近似Rieamnn-Liouville分数阶导数，得到了离散的分数阶Birkhoff方程，给出了求解该方程的数值算法。讨论了分数阶广义Birkhoff系统的离散变分差分格式和相应的一类特殊最优控制问题，给出了其求解方法。. 证明了分数阶Birkhoff系统的连续和离散形式的Noether定理。根据分数阶Pfaff作用泛函在无穷小变换所生成的单参数变换群下的不变性，导出了该不变性所满足的必要条件，进而证明了相应的Noether定理，得到了关于时间不变的守恒量。同时，给出了Noether定理的离散形式。. 结合变分积分子和间断Galerkin有限元方法，提出了Birkhoff系统的间断Galerkin变分积分子，证明了数值格式的保辛特性，讨论了它的稳定性，验证了方法的有效性和保守恒量特性，并将之推广到分数阶Birkhoff系统。. 讨论了Birkhoff系统的离散最优控制及其在航天器交会对接中的应用。运用Hamel积分子，研究了机械臂的时间最优避障控制问题，建立了相应的离散最优控制框架，给出了数值实现方法。. 研究了带约束的超混沌系统的动力学行为，给出了通过引入约束控制系统超混沌行为的方法。建立了一个具有两个自由度的简单轮对运动模型，研究了它的动力学行为，探讨了非完整约束对它们的影响，实现了系统的混沌控制与分岔控制。. 上述研究成果丰富了动力学与控制学科的内涵，是对相关理论方法工程应用的有益探索。