半空间中次调和函数的Matseav 定理

It has formed a new direction of potential theory for investigating the growth of functions in recent years. The growth of functions is considered in many physical problems, and is the inevitable development of mathematical theories and physical combined. The proposed project is based on the classical Matseav theorem in one complex variable, and we aim to study the relevant new subjects in higher dimensional Euclidean space for weakening the maximum modulus principle and explore new strategy in potential theory. Due to both the real part and the imaginary part of an analytic function are harmonic functions, there are some special methods and technique in single complex analysis. But there does not exist such relationship in higher dimensional space, so these methods and technique will not be parallel extended. Because it is very difficult to carry the complex methods and technique into the higher dimensional space, we need to break through some key steps progressively. There is big interest in studying the Matseav theorem of all kinds of functions in the half-plane and the half-space since half century ago, but the researchers impose some conditions. The project will explore the Matseav theorem of subharmonic functions in the half-space from the point of single complex analysis, remove the imposed conditions in all references and solve the problem fully, reduce to the classical result of Matseav theorem in single complex analysis when n=2 as well. The project will benefit to enrich the connections between the single complex analysis and several complex analysis, harmonic analysis, partial differential equation, topology and geometric measure theory.

近年来研究函数的增长性质成为位势论中一个热门的新方向。 许多物理问题都需要考虑函数的增长性，它是数学理论基础同物理问题相结合的必然发展。 本项目基于单复变中经典的Matseav定理，拟研究高维空间中相关的新问题以改进最大模原理的结果，探索位势论中的新思路，并提出新的方法。单复变中因为解析函数的实部和虚部都是调和函数，使得一些特殊的方法和技巧得以实现。但是这些不能在高维空间中平行推广，因此需要逐步突破一些关键步骤，寻求有效的方法完整地解决该问题。 半个世纪以来国内外学者们对于在半平面和半空间中研究各类函数的Matseav 定理有着浓厚的兴趣, 但都强加了一些条件。 本项目将从复分析的角度探索高维空间中次调和函数的Matseav定理， 去掉各种版本的强加条件，并且当 n=2 时能够回到经典的单复变的结果。本项目将有助于深化单复分析同多复变、调和分析、偏微分方程、拓扑学、几何测度论之间的联系。

本项目基于复分析的方法和技巧研究半空间中次调和函数的Matseav定理和四元数次调和函数的相关问题，主要研究了：.(1) n维半空间中次调和函数上界的加细问题，即通过Carleman公式和Nevanlinna公式，由次调和函数的下界推导其上界；.(2)半空间中如果调和函数的正部满足一定的增长条件，可以由边界上的积分表示出来，进一步减弱调和函数正部满足的增长条件，得到由边界上与测度有关的积分表示,证明了半空间中次调和函数的Phragmén-Lindelöf 定理，引入了半空间中的 C 类函数,并且得到了次调和函数属于 C 类函数的一个充分必要条件；.(3)四元数半空间中调和函数的积分表示和估计，四元数可测集上关于Fourier变换的不确定性原理及其在信号恢复中的应用，四元数Wigner分布和四元数模糊度函数的等价关系和相应的解析信号问题；.(4）在n维非平凡的构造性的证明了半空间中次调和函数的Matseav定理。..随着研究的深入，研究内容在原计划上有所增加，在国内外重要杂志上共发表与该课题相关的论文10篇，其中SCI检索6篇，CSSCI检索2篇，科学出版社出版专著1部。 项目组积极参加全国多复变学术年会、全国积分方程、边值问题及其应用等国内外学术会议。项目组举办了“复分析及其应用”和“大数据及其应用”两场小型学术研讨会。..本项目的研究将经典的复分析方法和技巧应用到高维空间，特别是在n维欧式半空间中从增长性的角度研究调和函数的积分表示和次调和函数的Matseav定理等问题，形成了自己的特色。本项目的研究不仅拓展了调和分析和偏微分方程研究的新领域，还可进一步用于解决偏微分方程问题和医学图像处理、金融统计等问题，具有十分重要的理论价值和实际意义。