加权模不等式及相关问题研究

It is well known that the weighted norm inequalities of integral operators play important roles in the study of harmonic analysis. This project focuses on the study of the weighted norm inequalities for several kinds of integral operators. The main study topics can be stated as follows..1、 We will study the weighted norm inequalities for the commutator of the maximal singular integral operator where the kernel satisfies some Hormander type conditions associated with the Young functions..2、 We will concern with the weighted boundedness for the multilinear fractional integral operators with rough kernels on product Lp spaces..3、 We will investigate the two-weight norm inequalities for several kinds of integral operators and their commutators, where the double weights (u,v) satisfy certain "A_p Bump" or "A_(p,q)^alpha Bump" type conditions..4、 Moreover，we will study the two-weight norm inequalities for several kinds of integral operators on the non-homogeneous metric space proposed by Hytonen, where the double weights (u,v) satisfy certain "A_p Bump" or "A_(p,q)^alpha Bump" type conditions in this space..5、 Finally, we will try to give the characterization of the weighted bounedness for the Hardy operator on the product spaces.

众所周知，积分算子的加权模不等式在调和分析的研究中扮演着重要的角色。本项目将致力于研究几类积分算子的加权模不等式，主要研究内容如下：.1、研究极大奇异积分算子交换子的加权模不等式，其中核函数满足一类和Young函数密切相关的Hormander型条件。.2、研究具有粗糙核的多线性分数次积分算子在乘积Lp空间中的加权有界性。.3、研究几类积分算子及其交换子的双权模不等式，其中双权函数(u,v)满足一类“Ap Bump”或“A_(p,q)^alpha Bump”型条件。.4、研究几类积分算子在Hytonen意义下的非齐型距离空间中的双权模不等式，其中双权函数(u,v)满足在此空间意义下的“Ap Bump”或“A_(p,q)^alpha Bump”型条件。.5、研究乘积空间上Hardy算子的加权有界性刻画。

积分算子的加权模不等式素来是调和分析中重要问题之一。本项目研究过程中，项目负责人及成员对调和分析中几类重要的积分算子加权模不等式做了研究并且得到了一些有意义的成果。主要研究内容和重要结果如下： .a.研究了几类积分算子在几类函数空间中的加权不等式，如多线性分数次积分算子以及多线性向量值极大奇异积分算子在加权Lp空间中的估计、Hardy型算子在Lorentz型空间中的加权估计、积分算子及交换子在加权中心Morrey空间中的估计。.b.研究了几类积分算子在Morrey型空间中的相关性质，如多线性分数次积分算子广义交换子在Morrey空间中的Olsen型估计、双线性分数次积分算子交换子在中心广义Morrey空间中的有界性。.c.研究了几类积分算子在加权函数空间中的紧性问题，如一类Hardy型算子在加权Lorentz型空间中的紧性、平方函数生成的交换子在加权Lebesgue空间中的紧性。.d.研究了几类积分算子在若干函数空间中的有界性，如具有粗糙核的分数次积分算子在Triebel-Lizorkin空间中的有界性、一类Sjolin型算子广义交换子的有界性、一类C-Z算子在Herz型Hardy空间中的T1定理以及一类强奇异积分算子在模空间中的有界性。.e.研究了Hilbert空间中若干小波分析问题。.在上述研究成果中，项目负责人及成员先后发表学术论文19篇，其中14篇论文被SCI检索(均标注基金号)。.本项目研究成果的科学意义如下：.1、在申请书提到，具有粗糙核多线性分数次积分算子加权估计的条件过于繁琐，严重影响其在其它领域的应用，我们彻底解决了这一问题。.2、我们得到的多线性分数次积分算子广义交换子在Morrey空间的Olsen型不等式为进一步研究此类算子在Morrey空间中的双权估计打下了基础。.3、补充了积分算子在加权空间中的紧性理论。.4、发表在《Front.Math. China》中的论文是首次将分数次积分算子的核函数限制在由块生成的空间并且得到了此类算子的有界性。.5、鉴于调和分析与小波分析的密切联系，我们会在今后研究工作中将两者结合起来，争取有新的突破。