哈密尔顿系统混沌现象的有限元研究

哈密尔顿系统是一个重要的动力系统，混沌指一类具有不可测行为的确定性行为，几乎所有的经典力学都显示有混沌运动。经研究哈密尔顿系统的有限元法保能量，本质保辛，优势明显。本项目结合混沌的相关理论：KAM定理等，针对保守系统混沌，利用有限元法研究有混沌现象的哈密尔顿系统内在随机性，研究在哈密尔顿混沌中固定控制参数，改变初始条件及在整个变化范围内改变控制参数,系统长时间行为的演化对初值的敏感依赖；研究混沌轨道，比较各种混沌轨道的混沌程度，对系统进行较全面考察；利用有限元法研究近可积的哈密尔顿系统混沌数学模型,通过长时间的数值模拟相图、庞加莱截面图，对比具有保能量、本质保辛的有限元法与保辛、本质保能量的辛几何算法在求解哈密尔顿混沌的共同特征和不同特点，研究辛性质和守恒性在混沌现象中的不同作用，针对保守系统寻找混沌的性质和机理，对于发展和完善哈密尔顿系统及保守系统的数值计算方法具有重要的理论与实际意义。

本项目在有限元法与辛几何算法的基础上，结合混沌的相关知识研究有混沌现象的哈密尔顿系统内在随机性,通过对比具有保能量、高精度保辛的有限元法与保辛、近似保能量的辛算法在求解哈密尔顿混沌的共同特征和不同特点，研究了辛性质和守恒性在混沌现象中的不同作用。对哈密尔顿混沌有限元法仍能长时间保持高精度的近似辛结构，且保持能量守恒，为哈密尔顿混沌的数值计算提供一种较好的方法，对于发展和完善保守系统的数值计算方法具有重要的意义。目前发表论文7篇，SCI收录2篇，还有3篇已投待发表，按计划完成目标。主要如下：.1. 利用有限元法研究有混沌现象的哈密尔顿系统内在随机性。针对哈密尔顿混沌，结合守恒性和辛性质，首次利用连续有限元法研究了有混沌现象的保守系统的动力学特征。研究了在哈密尔顿混沌中固定控制参数，改变初始条件,系统长时间行为的演化对初值的敏感依赖。结合KAM定理和庞加莱截面方法，随初始条件的不同出现准周期和混沌运动，有限元法能较好地保持保守系统混沌运动的动力学特征，与理论分析一致。2. 研究了哈密尔顿系统混沌数学模型长时间数值计算问题。针对不可积的哈密尔顿系统既有稳定的规则运动，也有不稳定的混沌运动，使得相空间中有规则与混沌区交错并存的复杂结构。本项目利用有限元法和辛差分法通过长时间的数值模拟庞加莱截面图、能量误差图，从规则运动阶段到混沌产生阶段最后到混沌运动阶段，比较各种轨道的混沌程度。当没有混沌，有限元法和辛差分法计算的通过庞加莱截面的点数都相同，这些截点组成了KAM闭曲线。当有混沌，有限元法、4阶辛R-K法、4阶辛格式计算的通过庞加莱截面的点数不相同，与规则运动阶段有区别。在有混沌现象发生时有限元法仍能长时间保持系统的能量守恒，对辛差分法能量误差曲线有相当大的不同当有混沌和没有混沌现象时。利用有限元法和Hopf分岔理论，还研究了耗散系统混沌长时间数值计算问题。3.哈密尔顿系统的数值方法研究。首次利用有限元法和外积证明了非线性哈密尔顿系统微分2-形式近似保辛性质；利用有限元法和复合的方法研究了可分哈密尔顿系统的辛性质和能量守恒等。