常平均曲率曲面的研究及其在广义相对论中的应用

In 1996, Huisken and Yau considered the existence of constant mean curvature spheres in asymptotically flat manifolds with positive mass. Then Jie Qing and Gang Tian proved the uniquensss of this foliation. This foliation is an important intrinsic structure of asymptotically flat manifolds.One can use this to define the center of mass of the manifold. Also we can consider the monotonicity of the Hawking mass along this foliation to prove the Penrose conjecture in some case.In general Riemannian manifolds, one can also consider the existence of various of constant mean curvature surfaces and minimal surfaces. In this project we consider the following problems: First, in asymptotically hyperbolic manifolds, we consider the uniqueness of the foliation of constant mean curvature spheres and the isoperimetric property of such spheres and try to solve Penrose conjecture in the hyperbolic case. Senond, in general Riemannian manifolds, consider the existence of non convex topological spheres with constant mean curvature.

1996年Huisken和丘成桐在正质量的渐近平坦流形中考虑了常平均曲率球面形成的分叶结构的存在性, 后来庆杰和田刚证明了这种分叶结构的唯一性. 这种分叶结构是渐近平坦流形中很重要的内蕴结构, 我们用它可以定义质心, 还可以用来考虑Hawking质量沿分叶结构的单调性, 从而证明Penrose猜想. 在一般黎曼流形里面也可以考虑各种类型的常平均曲率曲面或极小曲面的存在性问题 本项目拟研究如下方向: 一.在渐近双曲流形中也考虑常平均曲率球面分叶结构的唯一性以及这些常平均曲率球面的等周性质, 并试图解决渐近双曲流形中的Penrose猜想.二.在一般黎曼流形中考虑非凸的拓扑为球面的常平均曲率曲面的存在性.

常平均曲率曲面是微分几何中重要的研究对象，在一般的黎曼流形中，各种常平均曲率曲面的存在性和某种意义下的唯一性是很重要的问题。在数学广义相对论中，常平均曲率曲面也扮演着重要的角色。1996年Huisken和丘成桐在正质量的渐近Schwarzschild流形中证明了稳定的常平均曲率球面形成的叶状结构的存在性。他们利用这个叶状结构来定义流形的质心。他们在一定的半径条件下还得到了唯一性结论。2002年庆杰和田刚去掉了上述半径条件，证明了最优的唯一性结论。后来黄篮萱在更广一类渐近平坦流形中考虑了常平均曲率球面的存在唯一性问题，她的唯一性也需要一定的半径条件。本项目的一个主要的目标就是，去掉唯一性证明中的半径条件，证明最优的唯一性结论。另外，本项目也考虑一般黎曼流形中的常平均曲率曲面问题。. 目前，我已经在更广一类的正质量的渐近平坦流形中证明了常平均曲率球面的唯一性，不需要任何半径条件，文章已经发表在著名的数学杂志Adv.Math.上面。另外在一般黎曼流形中的常平均曲率曲面的存在性方面，我也得到了一定的结果。首先我证明了，如果把欧氏空间的度量在一点局部扰动，可以存在非凸的常平均曲率球面，文章发表在J.Math.Anal.Appl.上面。另外，在正质量的渐近平坦流形中，我构造了不稳定的常平均曲率球面和"非中心"（outlying）的常平均曲率球面，前者回答了田刚教授的关于稳定性条件的一个问题，后者给出了S. Brendle 和 M. Eichmair一个定理的新证明。这篇文章发表在Comm.Conte.Math.上面。这三篇文章都是独立作者。另外，我跟北京交通大学的葛化彬老师合作，还在Fron.Math.China.上发表了一篇关于组合Yamabe流的文章。