区间线性系统的Farkas型定理研究

This project mainly investigates the Farkas-type theorems for interval linear systems. In contrast with classical optimization problems, the parameters in such linear systems are uncertain. Using matrix decomposition, we first analyze the characteristics of the control solution, tolerance solution, localized solution and AE solution, construct Farkas-type theorems respectively. Then we study the characteristics of general interval linear systems in a uniform framework according to their internal relationship, and establish the Farkas-type theorems for general interval linear systems by using logic quantifiers and the order relations of interval parameters. Furthermore, we consider about its application in optimality condition and duality theory for interval linear systems.

本项目主要研究区间线性系统的Farkas型定理。不同于经典的优化问题，区间线性系统中描述问题的参数带有不确定性，因而更具实际应用背景与理论研究意义。本项目中，首先拟采用基于集合论和区间矩阵中点与半径的矩阵分解技巧，克服区间运算的多值性和相依性难点，详细分析区间线性系统的控制解、容许解、局部解以及AE解的可解性特征，分别建立其对应的Farkas型定理。进一步，深入探讨上述结果的内在关联，拟利用逻辑量词和区间量序关系相结合的方式，建立统一结构下一般区间线性系统的解的特征，于统一的框架下构造一般区间线性系统的Farkas型定理，并且讨论其在区间优化问题的最优性条件与对偶理论研究中的应用。

本项目的主要研究内容是区间线性系统的Farkas型定理。Farkas型定理是建立各类最优化问题的最优性条件以及对偶理论的重要理论基础之一。经典最优化问题中，描述模型中的系数通常为确定的数值，称之为确定型的优化问题。在实际应用领域，描述问题的参数因为各种现实因素往往带有不确定性。区间优化问题正是不确定型优化领域中的一个重要分支。区间运算的多值性特征导致对最优解、可行性和可解性的不同理解，因而需要研究不同类型可解性的Farkas型定理。本项目首先研究了区间系统中各类型解的特征及可解性，得到了区间代数中的各类偏序关系的特性。以此作为工具，在特定的区间混合线性系统中构造了AE可解性的Farkas型定理。同时，本项目还探索了区间线性系统中其他类型的解，建立了一般区间线性系统中EA解的特征及对应可解性的充要条件。此外，我们尝试将Farkas型定理拓展到极大代数架构上，得到了极大代数上对应不同区间线性系统的AE解的特征及对应可解性条件。进一步，由于可解性特征在区间优化求解方面的良好应用前景，本项目还研究了相关的区间规划问题，刻画了区间规划中最优值范围。此外，本项目延用矩阵变换技巧，在组合优化问题中，尤其是排序及博弈问题，也获得了一些结论和成果。