癌细胞的侵袭模型的建立及其数值模拟研究

Cancer disease is one of the leading causes of death worldwide. Many treatments are intending to cure cancer; however, the rate of success still very low. In this project, first gather the relevant data and parameters on cancer diseases in Xinjiang, and propose a mathematical method to predict and diagnose the tumor growth and the invasiveness of cancer cells by making a mathematical model considering the key factors (molecules), which is important for cell invasion (formation of invadopodia). The model involves a sub-domain for cell region with boundary that defined by level set equation. There, the boundary of sub-domain stands for cell membrane. Consider the uniqueness and existence of the solution and run its numerical simulations, discuss its clinical applications and give scientific basis.

据研究报告证明，癌细胞已成为人类主要死亡原因之一。至今，对癌症的治疗有了不少成果，但治疗率还是低。本项目首先收获有关新疆癌症发病率的有关数据以及有关参数，考虑具有复杂机制的癌细胞侵袭并建立数学模型。主要考虑单个细胞内外潜藏的对侵袭伪足形成发挥重要作用的关键分子，导入具有非正方形边界的子领域，此子领域表示癌细胞，子领域的边界表示癌细胞的细胞膜。由于细胞膜是自由运动的，因此，引入自由边界问题而进行讨论。验证解的存在性、唯一性等理论分析。验证自由边界问题的计算方法，分析数值结果和临床上的应用性并提供科学依据。

新疆在我国癌症发病率较高的地区之一，随着社会发展，国内外的医疗水平有不少成果，但治好率还是低。在这种情况下，关于从微观方面考虑癌细胞侵袭过程中有着重要作用的元素，并找出拟制哪些元素可以控制癌细胞的侵袭的研究引起不少研究员的注意。实验难处在于有些参数需要大量的时间、劳力和费用，在这种情况下，数理医学目前已成为医学研究的热点之一。本项目通过参考和研究国内外的有关研究找出癌细胞侵袭过程中的细胞内外的5个元素及其间的重要作用，并编制癌细胞侵袭的初始数学模型。接下来由理论和计算方面考虑模型的解。由于癌细胞膜是变形的，这样为了更精确地描述在移动的细胞膜内外两个领域中存在的元素之间的相互影响，导入自由边界问题。理论方面通过两相位Stefan问题，讨论自由边界的速度v和位置x的解。这些理论结果将对数值计算提供重要理论依据。计算方面，本项目中已通过Fixed Domain Method (FDM) 和 Integrated Penalty Method (IPM)来实现二维空间的算法，但有些不稳定。通过两次国际研究访问，把握超收敛性差分法和焓法公式化，并验证了本模型上的有效性。通过对各种焓法公式化进行研究和对比分析，然后提出了对两相位问题的初始计算算法，并推导一维和二维空间计算离散格式。另外常微分方程在癌细胞研究上有着重要作用，因此初始阶段研究了常微分方程组解的全局稳定性、持久性和周期解的存在性并提交出版。该研究对后续工作中有着重要依据。