有限群的结构及相关公开问题研究

Studying the structures and properties of all kinds of groups is one of important issues in group theory, permutable subgroups, supplemented subgroups and primitive subgroups play an important roal in the structure of finite groups . In this project, we will give some new descriptions of the structure of finite groups through some subgroups under different permutable or supplemented conditions and primitive subgroups. We will study four topics at the forefront of subgroups and the structure of groups. 1) X-permutable subgroups and the structure of finite groups, we will solve two open problems. 2) Permutable subgroups, supplemented subgroups and the structure of groups, under some additional conditions, we will study that the product of two finite groups is a supersoluble group or a Sylow tower group. At the same time, we will give some new subgroups and generalize the known results. 3) G-covering subgroup systems of some classes of groups. Concerned on four open problems, we will obtain some new G-covering subgroup systems of the class of soluble groups and the class of p-soluble groups. 4) The primitive subgroups and the structure of groups. we will study the structure of finite groups whose non-cyclic subgroups are primitive subgroups. Thiese research subjects are of great significance to the study of abstract finite groups and the applications of related disciplines.

有限群论的一个重要任务是研究各种群的结构与性质，而子群的置换性质、可补充性质以及本原子群等在有限群论研究中又起着非常重要的作用。本项目主要利用有限群的某些子群的不同类型的置换条件、可补充条件及本原子群，给出有限群结构的一些新刻画，主要有以下相关的4个前沿课题：1) X-置换子群与群的结构，解决与此相关的两个公开问题；2) 置换子群、可补充子群与群的结构，借助已知的一些子群，在一些附加条件下，讨论两个群的乘积是超可解群和Sylow塔群以及给出一些新的子群概念，统一并推广已有的一些结论；3) 一些群类的子群G-覆盖系统，围绕相关的四个公开问题，给出可解群类、p-可解群类的一些新的子群G-覆盖系统；4) 本原子群与群的结构，讨论所有非循环子群都是本原子群的有限群的结构。这些课题的研究紧跟该领域的研究前沿，所得研究成果对抽象有限群论和相关的应用学科有意义。

本项目主要利用有限群的某些子群的不同类型的置换条件、可补充条件及本原子群，给出有限群结构的一些新刻画，主要研究成果有以下几个方面：1) 研究了一个更广义的子群——σ-置换子群，解决了一个新的公开问题；2) 提出了一些新的子群的概念：几乎τ-嵌入子群、局部s-置换子群、σ-嵌入子群、σ-n-嵌入子群、σ-拟幂零群等，研究了它们的基本性质、建立了相关的理论，给出了有限群的一系列新的结构定理。同时利用一些已知的子群性质，对有限群进行了新描述。3) 给出了p-幂零群类的新的子群G-覆盖系统；4) 深入研究了本原子群的一种特殊情形——极大子群，以及2-极大子群与n-极大子群，定义了一些新的子群概念，并给出了在某些特定条件下，每个极大子群、2-极大子群以及n-极大子群都具有某个子群性质时有限群的结构。项目期间，培养毕业硕士研究生3人，发表学术论文15篇，其中SCI论文13篇，都标注基金资助号。