多频数据的Helmholtz方程位势反问题

This project focuses on the inverse potential problem for Helmholtz equation with multi-frequency data. Existing results show that the inverse potential problem with single frequency data is ill-posedness, only the logarithmic type stability estimate can be obtained, and in practice, it is still unstable for recovering a potential. The inverse potential problem is also a non-linear problem, moreover, the classical method of linearization can only deal with the single frequency problem. Due to the multi-frequency data, in this project, a special case of "linearized" method will be introduced. Combing with Fourier analysis and the new tools in the current results of inverse source problem with multi-frequency data (such as a connection between wave equation and Helmholtz equation, analytic continuation and lower bounds of harmonic measures), a conditional stability estimate for this inverse potential problem with multi-frequency data can be derived. Computationally, by utilizing the iterated regularization methods such as Kaczmarz scheme, a novel twofold recursive algorithm is proposed in order to extract the information of the potential from the multi-frequency data. Also, an error estimate of this algorithm can be obtained, which exhibits high precision for this inverse problem. Precisely, the key techniques like a new "linearized" method, the initial value problem for the wave equation, lower bounds of harmonic measures and iterated regularization methods will be explored in deriving the conditional stability estimate and the accurate scheme for the inverse potential problem with multi-frequency data.

本项目主要研究多频数据的Helmholtz方程位势反问题。已有研究表明单频数据位势反问题是严重不适定的，仅具有对数型的稳定性估计，在数值反演的过程中很不稳定。位势反问题还是非线性的，而经典线性化方法只能对单频数据进行处理。本项目基于有效利用多频数据的思想，将给出多频数据下的一种特殊“线性化”方法；并结合最新的多频Helmholtz反源问题的理论工具（例如波动方程与Helmholtz方程的联系、解析延拓与调和测度下界估计等新工具），利用Fourier分析等手段来证明多频数据Helmholtz方程位势反问题的条件稳定性。在反演算法上，将构造一类双层迭代正则化算法，以实现多频数据下位势的稳定反演；同时，提升高频下反问题的计算精度，并给出误差分析。本项目将采用波动方程初值反问题、调和测度下界估计、迭代正则化与收敛性分析等关键技术，解决多频位势反问题中出现的有界频段条件稳定性估计与反演算法准确性等难题。

本项目主要研究多频Helmholtz方程的反演位势问题，即通过观测Helmholtz方程在边界上的多频散射场数据（例如Dirichlet to Neumann映射）来反演该区域内部的未知位势函数。近十几年来，关于数学物理反问题的理论研究及其数值计算方法的实现一直是学术研究的热点和核心之一。随着研究的深入，一些重要的理论工具和计算方法在实际中得到了广泛的应用，例如声波成像、地质勘探、医疗成像等。. 主要的研究内容可归纳为以下两个关键问题：（a）多频观测数据反演位势函数的条件稳定性或提升稳定性；（b）多频反演位势问题的迭代重构算法及其收敛性。为了攻克这两个关键问题，本项目采用的研究方法与关键技术是主要的亮点工作：（a）通过合理的“线性化”方法，将非线性反演问题线性化，有效地利用了多频、高频的边界观测数据，从而提高了反演过程的稳定性，得到了提升稳定性估计。（b）通过构造一类双层迭代的重构算法，反演位势函数在频率域上的有效信息，提升了反演的分辨率，并在扰动数据的影响下给出了算法的误差与有效性分析。（c）此外，还拓展了非线性椭圆方程反演系数问题的相关研究课题，取得了一些提升稳定性与反演算法的研究成果，为后续的研究打下了良好的基础。. 项目负责人以通讯作者或第一作者的身份完成了已标注本项目资助的高质量SCI论文4篇，其中正式发表2篇，论文审稿2篇。论文发表于SIAM Journal on Applied Mathematics、Journal of Computational Physics、Inverse Problems and Imaging、Inverse Problems等具有国际影响力的知名学术期刊。项目负责人于2021年获得国家自然科学基金委面上项目资助1项，参与面上项目1项。此外，项目负责人主办了3次学术会议，受邀在国际学术会议上做学术报告3次，国内学术会议2次。