球面稳定同伦群与广义Sullivan猜想

In this project, the research content mainly includes the following two parts: 一. further studies on the stable homotopy groups of spheres; 二. some important studies on the generalized Sullivan conjecture. The stable homotopy groups of spheres is one of the central problems in stable homotopy theory, and has very important effects on algebraic topology itself and other branches of mathematics. The generalized Sullivan conjecture is an important problem in rational homotopy theory, and has great theoretical value. In this project, we will detect some indecomposable families of homotopy elements of low filtration in the stable homotopy groups of spheres and some new families of homotopy elements of spheres of high filtration. In order to accomplish these things, we will make use of the Adams spectral sequence, the May spectral sequence and the estimate of the cohomology of $P$, etc., where $P$ denotes the Hopf subalgebra of the mod $p$ Steenrod algebra $A$ generated by the reduced power operations $p^i$ ($ i > 0$). In the studies on the generalized Sullivan conjecture, we focus on the case when $p=0$ and $G$ is a Lie group. We will use the following knowledge, such as the Sullivan model of a space, the $L_{\infty}$ model of a space and so on. In this project we will determine the algebraic models of the map $k$ and the rational homotopy types of the homotopy fixed point sets of some Lie group action, etc.

项目研究内容主要有：一、球面稳定同伦群的深入研究；二、有关广义Sullivan猜想问题的研究。球面稳定同伦群是稳定同伦论的中心问题之一，它对代数拓扑本身及其他许多数学分支都有着重要作用。广义Sullivan猜想是有理同伦论中的一个重要问题，它具有很高的理论研究价值。本项目将利用Adams谱序列、May谱序列以及对由模 $p$ Steenrod 代数$A$的所有循环缩减幂$p^i$ ($i>0$)生成的子代数$P$的上同调进行次数估计等工具对球面稳定同伦群进行进一步研究，证明球面稳定同伦群中若干低滤子的不可分解的同伦元素族的存在性和若干高滤子的同伦元素族的存在性。在有关广义Sullivan猜想的研究中，我们主要考虑其在有理情形且$G$为Lie群时的情况。利用空间的Sullivan模型以及空间的李无穷代数模型等知识对映射$k$的代数模型以及同伦不动点集的有理同伦型等进行研究。

在本项目中，我们主要对球面稳定同伦群、广义Sullivan猜想的相关内容进行研究。我们主要利用Adams谱序列、May谱序列等工具对球面稳定同伦群进行了进一步深入研究，证明球面稳定同伦群中若干非平凡同伦元素族的存在性，同时证明了若干模$p$Steenrod代数上同调中的非平凡乘积元素。在有关广义Sullivan猜想的研究中，我们主要利用空间的Sullivan模型、空间的李无穷代数模型等代数拓扑知识，对某些特殊Lie群作用下的映射$k$的代数模型以及同伦不动点集的有理同伦型等内容进行了研究,得到了若干重要的研究成果。本项目的研究成果主要有：. 1、球面稳定同伦群是稳定同伦论的中心问题之一，它对代数拓扑本身及其他许多数学分支都有着重要作用。我们利用Adams谱序列和May谱序列等工具，发掘了球面稳定同伦群的若干非平凡的同伦元素族，例如：我们证明了非平凡同伦元素$\beta_1\varpi_n\gamma_s$的存在性。模$p$Steenrod代数的上同调是我们利用经典Adams谱序列研究球面稳定同伦群首先面对的问题，因而其是我们决定球面稳定同伦群的最重要的数据。在本项目中，我们证明在模$p$Steenrod代数的上同调中存在非平凡的$h_nh_m\tilde{\delta}_{s+4}$-元素、$b_0^3\tilde{\delta}_{s+4}$-元素等。这些都是球面稳定同伦群的重要成果。. 2、广义Sullivan猜想是有理同伦论中的一个重要问题，它具有很高的理论研究价值。在本项目中，我们分别完全决定了李群$s^3$和$s^1\times S^3$在有理球面和有理复射影空间上作用的同伦不动点集的有理同伦型，并给出了当李群为$S^1$时，映射$k:X^{G}\rightarrow X^{hG}$是是有理同伦等价的充要条件。这些都是关于广义Sullivan猜想研究的重要成果。. 除了如上这些研究成果之外，我们在本项目中，利用空间的Sullivan模型、$L_{\infty}$模型等工具，在截面纤维化的相关性质、环面阶数猜想、有理同伦论中的幂零指数等问题的研究中得到了若干研究成果。