Toroidal李代数的结构及其量子化

本项目是以研究代数表示论与李代数的有机联系为基本背景，以Kac-Moody李代数的重要推广形式toroidal李代数为研究对象，从把toroidal李代数表示成复单李代数与广义Heisenberg李代数的粘合代数这一新的表现形式出发，利用复单李代数、Heisenberg李代数已有的量子化结果，尝试通过把粘合关系进行量子化的新方法，进行对2-toroidal李代数的量子化的研究，进而揭示任意变元toroidal李代数量子化的规律，为进一步深入研究toroidal李代数由代数表示论中合适代数的Ringel-Hall李代数来实现奠定基础。同时，这对用Ringel-Hall代数理论揭示代数表示论与量子群之间的深刻联系，也有着重要的学术意义。

Kac-Moody李代数的内容是现代李代数理论的核心内容，与数学的许多领域以及现代物理都有广泛深入的联系。其中，仿射Kac-Moody李代数是最重要的无限维Kac-Moody李代数。这类李代数可以直接或间接实现为复单李代数与一元罗朗多项式代数的loop代数的泛中心扩张。从上述实现方式出发对Kac-Moody李代数进行推广，得到d -torus到复单李代数的多项式映射构成的李代数的泛中心扩张，这就是我们的研究对象toroidal李代数。Toroidal李代数和仿射Kac-Moody李代数有一个很大的区别，那就是仿射Kac-Moody李代数的中心是一维的，但是toroidal李代数的中心是无限维的。这就需要使用新的方法研究toroidal李代数的结构。该项目通过对toroidal李代数的结构和表现形式进行深入的研究。另外，在量子化问题上也进行了大量的工作，反复尝试给出广义Heisenberg李代数的多种量子化并验证结果。但是目前还没有得到一个好的形式，这是我们将继续研究的问题。本项目的这些研究都将为讨论toroidal李代数由代数表示论中合适代数的Ringel-Hall李代数来实现奠定研究基础。