（量子化）李代数的结构和非权模的研究

(Quantized) Lie algebras are important in modern mathematics, which can be applied to the fields of group, differential geometry, topology and theoretical physics..This project aims to study the structure and non-weight modules of (quantized) Lie algebras. We will construct and classify the category consisting of simple quantized Lie algebras modules over the complex field whose restriction to the universal enveloping algebra of the Cartan subalgebra is free of rank 1. The result may be generalized to the case of finite rank. We will study the cohomology theory of quantized Lie algebras, which will be applied to characterize the representation and deformation theory. Moreover, we will construct simple weight modules with finite-dimensional weight spaces of some important Lie algebras, and study their structure and classification.

（量子化）李代数是近代数学中的一个重要分支，其理论与方法已渗透到群论、微分几何、拓扑、理论物理等领域，并有很多的应用。.本项目计划研究（量子化）李代数的结构和非权模，具体包括：构造复数域上经典的量子化李代数的限制在Cartan子代数的泛包络代数上为秩1自由模的单模并对其进行分类，以及进一步考虑高秩自由模的情形；建立量子化李代数的上同调理论，用于研究其表示和形变；利用Mathieu扭函子构造若干重要李代数的权空间为有限维的单权模，并研究模的结构以及分类。

（量子化）李代数是近代数学中的一个重要分支，其理论与方法已渗透到群论、微分几何、拓扑、理论物理等领域，并有很多的应用。本项目围绕（量子化）李代数的结构和非权模展开研究，具体包括：研究了sl_2的量子包络代数的限制在Cartan子代数的泛包络代数上为秩1自由的模并得到Clebsch-Gordan公式；利用Mathieu扭函子，研究了mirror Heisenberg-Virasoro代数的非权模，包括Whittaker模、U(d_0)秩1自由模、以及它们的张量积；研究了Hom-型李代数的上同调理论与结构理论。.总之，本项目在李代数和量子群的结构和非权模方面达到了预期目标，做到了按照研究计划进行研究，并完成各项任务。项目的研究方法与结果对李代数与量子群的结构与表示理论等领域具有一定价值。