委托代理问题的一类优化方法和算法设计研究

解决委托代理模型常用的一阶条件方法通常是无效的。Mirrlees等人提出了保证其有效性单调似然和分布函数凸性条件，但实际中满足这两个条件的函数很少。为此，本项目将对委托代理问题的最优性条件和算法等进行深入研究。具体包括：1）通过对激励约束的凸性研究和借用变分不等式等工具，将其转化为等价的单层优化，然后利用Fritz John方法和罚函数等方法，研究单层优化局部解为整体解的条件，给出委托代理模型的最优性条件；2）研究在何种条件下，可将单任务的研究结果推广到多维度委托代理模型；利用变分不等式等现代分析工具处理激励约束，给出相应问题的单层等价形式，利用罚函数等方法处理带复杂约束的单层问题，给出多任务委托代理问题最优性条件；3）基于上述最优性条件的研究结果，借用同伦方法、罚方法等思想，构造委托代理模型的有效算法。本项目是委托代理理论和方法的深入研究，其研究具有重大的理论意义和应用价值。

委托代理模型是研究激励机制问题的主要模型之一，它是一类特殊的两层优化模型，其研究的难点是如何处理激励约束条件。目前解决委托代理模型常用的一阶条件方法通常是无效的。Mirrlees等人提出了保证其有效性单调似然和分布函数凸性条件，但实际中满足这两个条件的函数很少。为此，本项目将对委托代理问题的最优性条件、算法和应用等进行深入研究。项目负责人及其研究生与多年的合作者，在最优性条件、算法和应用方面取得了较好的成果：1）针对现有的一阶条件方法有效性证明中存在的问题，给出了新的改进证明。2）用变分不等式处理委托代理模型中的激励约束，可将其简化为单层优化问题。为此，我们对变分不等式的求解算法进行了深入研究，给出了变分不等式的非内点全局收敛算法。该算法克服了内点算法要求初始点必须是可行点的难题，因为初始可行点的选取往往非常困难，因此算法具有较强的实用价值。3）用KKT条件处理激励约束，可将委托代理问题转化为带等式约束的非凸优化问题。我们采用同伦算法，对带等式约束的非凸优化问题算法进行了深入研究，给出了全局收敛算法。算法允许初始点选取不必满足等式约束条件，因此更易操作。此外，借助构造的同伦函数，用一系列凸规划问题逼近非凸规划，给出了求解一类带等式约束的非凸优化问题的全局收敛算法，为求解委托代理问题提供了又一种新方法。4）借助于罚函数将约束优化转化为无约束优化问题是求解约束优化问题的常用方法。为此，我们构造了一个新的求解无约束优化问题的全局收敛的共轭梯度算法，数值试验表明该方法具备有效性。5）应用委托代理模型，对激励机制设计问题的进行了应用研究。建立了采购人员激励问题的多任务委托代理模型，给出了影响激励采购人员激励强度的各种因素，提出了一系列具体的激励措施。