动态Gröbner 基与GVW算法

Theory and application of Gröbner bases is one of key problems in the research area of algorithmic algebra and symbolic computation. Dynamical Gröbner bases is an approach that is based on gluing local realizability appeals to use of dynamical proof methods to theory and computation of Gröbner bases. In this project, we mainly study the new algorithm for computing ideals Gröbner bases -GVW algorithm and dynamical Gröbner bases and relationship between them. Based on Buchberger algorithm for computing polynomial ideals Gröbner bases on Noetherian valuation rings, we study GVW algorithm for computing ideals Gröbner bases on this kind of ring. We discuss properties of Dedekind ring localization and study dynamical Gröbner bases algorithm for computing Gröbner bases of polynomial ideals on this kind of ring, which is based on GVW agorithm. We wish to find a new kind of arithmetic ring whose localization are Noetherian valuation rings, then we can present dynamical Gröbner bases algorithm of this class of ring.

Gröbner基理论与计算是算法代数与符号计算研究领域的核心问题之一，动态Gröbner基是利用局部实现原理将动态证明方法应用到Gröbner基的理论与计算中。本项目主要研究计算多项式理想Gröbner基的新算法—GVW算法与动态Gröbner基及其关系：根据诺特赋值环上已有计算多项式理想Gröbner基的Buchberger算法，研究寻找该环上多项式理想Gröbner基的GVW算法；研究Dedekind环局部化的性质及该环上多项式理想基于GVW算法的动态Gröbner基算法；找到一类新的算术环局部化后是诺特赋值环，并给出该环上多项式理想动态Gröbner基的GVW算法。

工程和数学中的许多问题都可归结为多项式环上理想的研究，而理想的诸多问题都可以通过Gröbner基来研究。我们主要开展了以下工作：研究了诺特赋值环上多项式理想Gröbner基的GVW算法，并引入因子元改进和拓展了域上的GVW算法，得到其理想一种系数满足整除关系的特殊Gröbner基。运用局部实现原理和动态证明方法等研究了GVW算法与动态Gröbner 基的关系，得到了主理想环、Dedeking环上基于GVW的动态Gröbner 基新算法，该算法能同时计算出理想的动态Gröbner 基和合冲模的动态Gröbner 基。运用Gröbner基理论及算法进一步研究了一些多项式环的性质及其环上多项式矩阵分解、嵌入与等价问题，得到了一些有趣的结果。