非线性极大极小问题的有效算法及其应用研究

非线性极大极小（minimax）问题是一类非常重要的非光滑优化问题。最优控制、经济金融、能源与环境等许多数学模型以及数学规划的很多分支（如鲁棒优化、随机规划等）的处理方法都可以归结为求解一类minimax问题。研究该类问题的高效、稳定算法，特别是中大规模算法具有十分重要的理论意义和广泛的应用价值。本项目拟对非线性无约束与约束minimax问题的信赖域与模松弛SQP算法进行深入研究，主要研究工作如下：1. 根据该问题的特殊结构，设计更好的子问题逼近模型，构造高效的子问题求解算法；2. 融合现代优化新技术，如非单调技术、滤子技术、杂交技术等，设计高效稳定的新算法，重点是中大规模算法；3. 探索有效克服信赖域与模松弛SQP算法产生Maratos效应的新技术，建立新算法的理论体系；4. 建立模松弛SQP算法的最优参数选取策略和积极集识别技术；5. 进行数值实验；6. 解决能源与环境中的应用问题。

本项目按原申报的研究内容开展并完成研究计划。一方面研究非线性无约束极大极小（minimax）问题，另一方面研究非线性约束极大极小（minimax）问题。. Minimax问题是一类非常重要的非光滑优化问题。最优控制、经济金融、能源与环境等许多数学模型以及数学规划的很多分支（如鲁棒优化、随机规划等）的处理方法都可以归结为求解一类minimax 问题。研究该类问题的高效、稳定算法具有十分重要的理论意义和广泛的应用价值。. 成果主要贡献和创新在于：根据该问题的特殊结构，设计更好的光滑逼近模型，构造新型的信赖域、模松弛、二次约束二次规划、线性方程组等子问题，产生理论性质好且计算量小的主搜索方向；利用二次校正、线性方程组等技术产生克服Maratos效应的高阶修正方向，简化算法结构，减少计算量，提高收敛速度；将传统的信赖域方法与非单调线性或曲线搜索技术相结合，构建了一类求解非光滑minimax问题的混合算法；融合现代优化新技术，如强次可行方向法，模松弛技术，积极集识别技术，SQP技术, SQCQP技术，SSLE技术，内点技术，摄动技术及广义投影技术等，设计高效稳定的一系列新算法； 建立新算法的理论体系，给出了严谨的收敛性证明，去掉或弱化了一些较强的假设条件，如逼近矩阵严格正定、线性无关和严格互补等，且大量数值实验验证了新算法的有效性。. 成果反映在正式发表的15篇论文和一部专著中，多数刊登在国际著名专业学术期刊，其中SCI 收录10篇，中文核心5篇，超额完成了预期指标。