Cantor集上丢番图逼近问题研究

Diophantine Approximation is an important branch of Number Theory. Over the last decades, with the emergence of fractals, lots of interests began to focus on Diophantine approximation in fractals. This project intends to study some properties of Diophantine approximation in the simplest fractals ---- Cantor sets, including the following three associated problems: (1) Explore the behavior of the subset of Cantor set constituted by the point satisfying certain approximation conditions, and estimate the Hausdorff dimension of this set; (2) Explore the existence of the point in Cantor set satisfying exact approximation conditions; (3) Extend the conclusions above to the field of formal Laurent series, resolve the associated problems of Beta-expansions.. This project is a combination of Fractal Geometry and Diophantine Approximation, it involves the hot issues in Diophantine Approximation. The solution of the problems above will be conducive to promoting the cross development of both disciplines.

丢番图逼近是数论研究的一个重要分支，近几十年来，随着分形集的出现，开始有了分形集上的丢番图逼近。本项目拟研究最简单的分形集---Cantor集上丢番图逼近的若干性质，具体包括以下三个相关联的问题：（1）研究Cantor集中满足逼近条件限制的点所构成的集合的性态，估计该集合的Hausdorff维数；（2）考察Cantor集中满足精确逼近条件限制的点的存在性；（3）将上述结论推广到形式级数域，解决Beta-展式中丢番图逼近的相关问题。. 本项目是分形几何与丢番图逼近相结合的一个课题，内容涉及丢番图逼近中的热点问题，上述问题的解决将有利于推动双方学科的交叉发展。

作为数论研究的一个重要分支，丢番图逼近以研究数的有理逼近问题为主，近几十年，随着大量分形集的出现，人们开始关注分形集上丢番图逼近问题的研究。本项目主要研究Cantor集上丢番图逼近的若干问题及其在形式级数域上的推广。我们主要解决了形式级数域上与Beta-展式相关的丢番图逼近问题；我们知道连分数是丢番图逼近研究的一个重要工具，由于连分数与丢番图逼近的密切联系性，我们同时解决了形式级数域上关于Engel-展式的一个例外集的维数问题以及实数域中正规连分数展式中一个例外集的维数问题。上述问题的解决有利于推动分形几何与丢番图逼近的交叉发展。