形式级数域上若干丢番图逼近问题的分形性质研究

丢番图逼近是数论研究中的重要分支，其间悬而未决的遗留问题更是现今数论研究的焦点。为了给实数域中原始问题的解决提供思想和方法上的借鉴，结构更加规则的形式级数域上丢番图逼近的研究也越来越受到重视。. 本项目拟围绕形式级数域上的Littlewood猜测和非齐次丢番图逼近两个方面来开展研究。我们主要研究以下三类问题：1．拟研究与Littlwood猜测相关的一些例外集的维数理论；2．拟发展形式级数域中一致分布序列的度量性质与某些特殊序列的分布规律；3．拟利用2中得到的结果来研究非齐次丢番图逼近中一类可很好逼近点集的分形结构，并进一步利用维数理论中构造Cantor、Moran型子集等技巧得到其分形维数。这些结果的获得不仅会拓展和丰富一致分布序列、度量数论与维数理论等领域的技巧与成果，而且为多方交叉学科的研究提供新的工具、方法和思想。

丢番图逼近是数论研究中的重要分支，而连分数系统、无理旋转系统等动力系统作为研究丢番图逼近问题的重要工具一直备受数论领域专家的关注。为了给实数域中原始问题的解决提供思想和方法上的借鉴，结构更加规则的形式级数域上丢番图逼近的研究也越来越受到重视。本项目首先围绕形式级数域上的丢番图逼近若干问题展开研究，以连分数系统、无理旋转系统等动力系统为工具，从度量理论、分形维数等角度刻画了一些具有特定丢番图性质的复杂集合的大小。在本项目中，我们首先集中研究以下两类问题：.1. 形式级数域上关于连分数展式部分商的度增长速度的分形集合研究。形式级数域上连分数展式部分商的度反映了形式级数被有理多项式逼近的精确程度。我们重点研究了形式级数域上Hirst猜测、连分数展式部分商的度以任意速度趋于无穷的集合的分形维数、连分数展式部分商的度包含任意长等差数列的集合的分形维数。.2. 形式级数域上连分数动力系统、无理旋转系统中分形集合的丢番图研究。在众多复杂的动力系统中，连分数系统由于其具备某种混合性，常常被认为是经典系统的代表。在此方面，我们重点研究了形式级数域上连分数系统的常返度量定理和相应例外集的分形维数、无理旋转系统中Kurzweil type丢番图度量性质和相应例外集的分形维数。.在完成以上分形数学基础研究的条件下，本项目在分形应用方面也展开了研究。分形维数在度量不可微、不光滑、不规则集合的大小方面具有独特的优势，因此被广泛地应用到物理领域如湍流、生物领域如癌细胞的检测等众多科学领域。结合项目负责人所在学校的背景，项目组在研究后期展开了分形方法在蛋白质功能预测方面的应用研究。我们首先研究了DNA序列、蛋白质序列的混沌图表示算法，进一步重点研究了混沌图的分形维数数值计算，最后利用上述分形特征对耐热基因、可溶蛋白、DNA-binding蛋白进行功能预测，得到了理想的预测准确度和效果。我们的结果将拓展和丰富蛋白质功能预测领域已有的研究成果，并且此研究过程中运用的思想和方法也有潜力应用到GPCR蛋白识别与分类、药物靶标设计等其他生物信息学重要研究领域。