次分数布朗运动视角下的欧式期权定价及其在风险管理中的应用

In the study of European call option pricing, because stock prices present a certain long dependency, non-stationarity increments, constant time period and others character, Brownian motion or fractional Brownian motion as the option pricing model has some limitations. The project is aiming at the shortcomings of the traditional model of European option pricing, introducing subfractional Brownian motion, in depth discussion European option pricing model driven by subfractional Brownian motion. Firstly, the short-term interest rate model is set up - subfractional O - U process, with minimum contrast analysis method to estimate drift coefficient; obtain minimum contrast estimator ,the strong consistency and asymptotic normality of this estimator. Secondly, under the time changed conditions, set up the European option pricing model of subfractional Brownian motion, mixed model of Brownian motion and subfractional Brownian motion, and derive European option value formula , respectively. Finally, calculate the value of the portfolio and "Value at Risk" using the Monte Carlo simulations, and financial risk management countermeasures are put forward. Research will focus on the formula derivation of European option value of the mixed model driven by Brownian motion and subfractional Brownian motion, and on its applications under the time changed condition. Research results will deepen the understanding of European option pricing process, and can provide theoretical basis for the new financial market risk measurement.

在欧式看涨期权定价研究中，由于股票价格呈现出一定的长相依性、增量非平稳性和常值时期等特征，将布朗运动或分数布朗运动作为期权定价模型就有一定的局限性。本项目针对传统欧式期权定价模型的不足，引入次分数布朗运动，深入探讨次分数布朗运动驱动的欧式期权定价模型。首先，建立短期利率模型-次分数O-U过程，用极小对比分析方法估计漂移系数；获得极小对比估计值以及估计值的强一致性、渐近正态性。其次，建立时间变换条件下次分数布朗运动驱动、布朗运动和次分数布朗运动混合驱动的欧式期权定价模型，分别推导欧式期权价值公式。最后，计算资产投资组合价值；利用Monte Carlo模拟计算“在险价值”，并提出金融风险管理对策。研究的重点将放到在时间变换条件下布朗运动和次分数布朗运动混合模型的欧式期权价值公式的推导和应用上。研究成果有助于深化了解欧式期权定价过程，可为新型金融市场风险的度量提供理论依据。

资产价格是度量金融市场风险的基础,也是现代投资分析的重要工具.当今金融工程发展呈现出金融科学数量化,即金融学理论研究模式趋于数学化、应用研究定量化.研究金融工程的数学方法很多,其中随机分析理论就是一个具有代表性的方法.经典的B-S期权价格公式假设股票收益率服从正态分布并且波动率是常数.然而,大量的实证研究表明:股票价格呈现出一定的长相依性、增量非平稳性和波动率微笑等特征..针对传统资产价格模型的不足,引入次分数布朗运动、分数布朗运动等分数型高斯过程,深入探讨分数型高斯过程驱动的资产价格模型及其在投资组合中的一些应用.研究内容及主要结果有:(一)资产价格模型及其应用.①建立了短期利率模型-次分数O-U过程,利用谱密度方法估计模型中的漂移系数.②分别研究了在随机利率、时间变换、支付红利、混合高斯过程等不同情形下的资产价格模型,推导了看涨和看跌期权定价公式.③构建混合分数Heston资产定价模型,基于蒙特卡洛模拟对回望期权波动率路径和股票价格路径进行模拟分析.④建立了基于跳环境和混合次分数布朗运动下的欧式期权定价模型,使用拟条件期望得到欧式期权定价公式,通过希腊字母量化了资产风险.⑤考虑了随机利率环境下基于连续时间的动态最优资产配置问题,利用随机最优控制理论和Lagrange对偶原理获得了有效投资策略以及相应有效边界的解析式.⑥采用SV-t模型与EVT理论作为边缘分布来刻画单个金融资产收益的波动性及尾部分布,构建了Copula-SV-EVT模型.⑦构建基于SV-EVT的动态VaR计量模型,引入不同样本分布函数或波动状态变化因素到该组合模型中,通过样本序列数据对其进行实证检验和分析,并拓宽到多元情形..（二）研究了分数型高斯过程的局部时.①利用白噪声分析方法分别研究了分数布朗运动、次分数布朗运动及其与布朗运动混合过程等几类高斯过程的碰撞局部时存在性条件及混沌分解.②研究了次分数O-U过程碰撞局部时的存在性.③将一维情形下相交局部时推广到高维情形,建立了该局部时指数可积性条件..研究成果有助于深化了解欧式期权定价过程,完善了金融随机分析理论体系,可为新型金融市场风险的度量提供理论依据;有关分数型高斯随机过程局部时的研究将推动分数型高斯过程在数学、物理中的应用.