若干离散可积方程族的多维反散射变换研究及精确解

Discrete integrable equations mentioned here refer to the integrable differential-difference equation with one of space varibles dicrete. To some extent, the inverse scattering transform for integrable system can be reviewed as Fourior transform for nonlinear problem, which provides a theoretical basis for other research methods for the integrable system, and belongs to a leading edge subject in the field. Based on the previous work, this project intends to make a breakthrough in the following two aspects. First, we focus on the multi-dimensional inverse scattering transform of several discrete integrable hierarchies, including isospectral and non-isospectral equations. We study the mathematical rigour of the direct scattering problem and the process of the inverse scattering problem, analyse the analyticity of the Jost function corresponding to some spectral problems, constuct DBAR problem, recover the potentials and derive the exact solutions for these euqations. Second, Starting with the Lax pairs, we investigate the relationships between the multi-dimensional inverse scattering transform and other Integrable properties. This project will be helpful to enrich the methods of solving multi-dimensional discrete integrable equations and develop the theory of inverse scattering transform.

本项目提及的"离散可积方程"特指其中一个空间变量为离散的可积微分-差分方程。可积系统的反散射变换在一定程度上可视为"非线性问题的傅立叶变换"，它能为可积系统的其它研究方法提供理论依据，属于该领域内前沿性的基础研究。本项目拟在可积系统已有的工作基础上，力争在以下两个方面形成突破：1）对于一些涉及离散空间变量、相应谱参数依赖于或不依赖于时间的多维可积方程族，探讨其正散射问题的数学严密性和反散射变换步骤，分析与谱问题相联系的Jost函数的解析性，建立DBAR问题，恢复位势，构造出多维可积方程族的精确解。2）由Lax对出发，研究多维可积方程的反散射变换与其它可积特征之间的内在联系。本项目将有助于丰富多维离散可积系统的求解途径和反散射理论的发展。

本研究从相应的谱问题出发，导出了等谱与非等谱的半离散KP方程，在Sato理论与反散射理论的框架下，应用格林函数法和序列傅立叶变换，研究了离散Jost函数及本征函数的解析性质，建立了此半离散方程的DBAR问题，考虑了谱参数随时间变化的情况，利用广义积分公式重构位势，构造出了方程的精确解。建立了自相容源方程和本征函数非局部变化的联系，导出了含自相容源的非局部NLS方程和非局部修正mKdV方程，我们对经典的反散射理论进行补充修正，研究了左、右反散射问题，考虑了正散射问题的数学严密性及反散射变换步骤，研究了本征函数的解析性质，得到自相容源项与Jost函数的关系、归一化因子等散射数据的时间发展式，从而构造出含自相容源的非局部NLS方程的解，分析其与非局部NLS方程解的关系。 由含自相容源AKNS方程族及其解，利用方程和解的一种约化技巧，进而约化得到含自相容源的非局部NLS方程和非局部修正mKdV方程的多孤子解。分析这些解的动力学特征，描述单双孤子解的运动。考虑了反散射变换与其它一些方法之间的联系性，引入Wronskian方法和Casoratian技巧研究了广义带导数的非线性薛定谔方程、耦合Gerdjikov-Ivanov方程以及2位势Ablowitz-Ladik方程，构造了这些方程丰富的精确解。此研究使我们在可积系统问题上有了更深的认识，有利于将来对更多可积方程的反散射变换方法及精确解的进一步研究。