量子仿射代数的双重玻色化递归构造以及表示

As q-deformations of universal enveloping algebras for affine Lie algebras g, quantum affine algebras are an important family of non-commutative and non-cocommutative Hopf algebras. Majid's double-bosonization theory in some braided tensor category gives a realization of quantized enveloping algebras. This program is devoted to considering double-bosonization realization for quantum affine algebras and related inductive constructions between them, and the relation with those inductive constrctions of quantized enveloping algebras for finite types. These motivations have a close connection with interesting R-matrices、FRT-generators、RTT-realizations. Also, as an important application of double-bosonization realizations and inductive constructions of quantum affine algebras, we can further consider how to construct infinite-dimensional representations for quantum affine algebras, and infinite-dimensional module algebras structure on vector spaces of braided groups.

作为仿射李代数 g 的泛包络代数的 q-形变，量子仿射代数是一类非常重要的非交换和非余交换的 Hopf 代数。Majid 的双重玻色化理论是在 braided 张量范畴中对量子包络代数的结构关系式的一种实现。本项目的研究重点就是考虑复数域上量子仿射代数的双重玻色化实现和它们之间的递归构造，以及同有限型量子包络代数的双重玻色化递归构造的关系。在这些动机的研究过程中会同 R-矩阵、FRT-生成元、RTT-实现等有趣问题有紧密的联系。作为量子仿射代数的双重玻色化实现和递归构造的一个重要应用，我们将进一步去构造量子仿射代数的无限维表示，以及在 braided groups 空间上去构造量子仿射代数的无限维的模代数结构。

量子群是20世纪后期数学物理和数学发展中最重要的一个发现。它起源于 L.D.Faddev 的工作以及列宁格勒学派在解决可积模型中的可逆散射法。20世纪80年代Drinfeld 和Jimbo 分别通过生成元与关系式的方式给出了半单李代数的普遍包络代数的一个形变--量子包络代数，又被称为 Drinfeld-Jimbo 代数，这是量子群理论最重要的发展之一。量子群理论同数学与物理的很多分支都有密切的联系，例如同数学领域中的Hecke代数的表示理论、扭结理论、算子代数,非交换几何等。其理论后来发展中的一个中心的问题就是如何在一个合适的框架下实现量子包络代数，从而给它一个更好更本质的解释。量子包络代数又是一种拟三角的 Hopf 代数，或者说是一种``真正的量子群"(带有普遍 -矩阵)，因此又存在许多同 -矩阵有关的实现途径。本项目关注的是基于著名的数学物理学家 Shahn Majid 的 1999年的文章在辫子张量范畴中建立的双重玻色化构造理论。双重玻色化理论将量子包络代数正负部分看成Cartan部分相互对偶的braided群，从而实现了量子包络代数。且Majid 断言其理论带来的构造可以递归生成“量子群的树”。本项目的主要研究内容是：给出复数域上Kac-Moody李代数中很重要的一类-无限维仿射型李代数g 的量子包络代数 在这个量子群树中的位置，以及同有限型量子包络代数之间的连接关系，即它们同有限型量子包络代数的双重玻色化实现和递归构造的关系。基于这个研究目标，在本项目的3年研究期间，根据Majid双重玻色化理论，对非标准的R矩阵也建立了相应的双重玻色化构造定理，且给出了有限型量子包络代数之间的跨型构造，特别是A1 到 G2 。同时建立了多重张量积版本的双重玻色化构造理论，从而实现了从有限型到仿射型的递归构造，以及从Am和An到 Am+n+1 的直接构造，不再是从A1 一步一步地递归构造。此部分内容发表了sci论文2篇。同时项目在研期间，发表6篇论文给出了双重玻色化构造定理带来的相关应用。