拓扑群范畴的若干问题的研究

The theory of topological groups is one of the main topics in the fields of topological algebra, and categorical topology study topology by means of categorical method. So it is intersting to study topological groups by means of categorical method. Two well-known examples are free topological groups and categorical compact groups. In this project, we will study systematically topological groups by means of categorical method. For example whether there exists compact reflection in the category of topological groups? If dose whether the refletion would become a compactification. In detail, we will study the following questions: 1. g-closed homomorphisms and categorical perfect homomorphisms between topological groups; 2. the compact reflections of topological groups and the largest algebraic compactifications of groups; 3. the Cartesian closed subcategories of the category of topological groups. The study of these topics will not only enrich the content of categorical topology but also provide new methods and tools for the study of topological groups.

拓扑群是拓扑代数领域的热门研究方向，范畴拓扑学是从范畴论的角度来研究拓扑空间理论。如何将范畴拓扑的思想方法引入拓扑群的研究成为一个非常有意义的研究课题。两个著名的例子是自由拓扑群和范畴紧拓扑群。本项目将从范畴论角度出发系统研究拓扑群范畴的若干有意义的问题，例如拓扑群目前考虑的极大紧化均是其在紧拓扑空间范畴中的反射而不是在紧拓扑群范畴中的反射，因此一个自然的问题是拓扑群在紧拓扑群范畴中是否存在反射？如果存在紧反射则反射何时成为极大代数紧化？本项目研究主要关注以下三方面的问题：1. 拓扑群的g-闭同态与范畴完备(简记为c-完备)同态问题；2. 拓扑群范畴的紧Hausdorff反射的存在与构造问题、反射何时成为极大代数紧化问题；3. 拓扑群范畴的Cartesian闭子范畴存在性问题。这些问题的深入研究和解决不仅会丰富范畴拓扑学的研究内容而且为拓扑群的研究提供新的方法和工具以及全新的研究领域。

范畴拓扑学是从范畴论的角度来研究拓扑空间理论。本项目研究拓扑群的范畴的拓扑和代数性质，取得了系列成果：1. 拓扑群范畴的范畴性质，提出并研究了拓扑群范畴的c-proper同态；对于任意无限基数τ，给出了拓扑群范畴的τ-准紧反射；研究了拓扑群的紧化格问题。2. 拓扑群拓扑的gap问题，给出了关于gap的若干基数不变量；给出了局部紧非紧群的前置的精确估计；给出了紧群存在后继的充分必要条件，表明紧群存在后继完全由群的代数结构决定；定义了m-正规子群，证明了对局部紧群和紧群，其m-正规子群与李群密切相关。利用m—正规子群给出了稠密子群下连续的准则。3. 拓扑群的可约性问题，研究了离散Abel群的可约问题，解决了Arhangelskii 与Tkachenko提出的一个公开问题；给出了若干类可约拓扑群，特别地证明了实数加法群以及有理数加法群关于通常拓扑均可约。4. 局部极小拓扑群的乘积和商，给出了全局部极小Abel群的完全刻画；证明了R^n 的稠密子群是局部q极小群当且仅当它是可约群，同时给出了n维圈群 T^n 的子群局部q极小的刻画。