子群特性及特征标次数对群结构的影响

The structure theory and the representation theory of finite groups are important and active branches of algebra. We will investigate the following problems:.1. From the development of the theory about the solvable groups, we know that determining the structure of finite groups by the properties of some special subgroups is still an important topic. We will discuss the structure of finite groups by giving some original definitions about the special subgroups and by reducing the number of the restricted subgroups. And we will generalize the results by the formation theory..2. Investigate the character correspondence by the properties of normal triple, determine the structure of some modular Frobenius group and study the influence of character degrees on the structure of finite groups. Some open problems will be discussed.

有限群的结构理论与表示理论是代数学中重要而且活跃的分支，本项目拟讨论以下专题：.1、从最近十年可解群的发展情况来看，描述给定子群条件下的可解群的结构仍然是可解群研究的主要问题之一，本项目将通过给出若干原创的具有特殊性质的子群定义，并通过减少受限制的子群个数，刻画有限群的结构，并将所得结果推广到群系。.2、在正规三元组条件下研究特征标对应；确定某些模Frobenius群的结构；探讨特征标次数集合对于有限群结构的影响，解决一些公开问题。

有限群的结构理论与表示理论是代数学中重要而且活跃的分支，本项目围绕这两个方面进行研究。.从最近十年可解群的发展情况来看，描述给定子群条件下的可解群的结构仍然是可解群研究的主要问题之一，本项目通过具有特殊性质的H-子群，减少受限制的子群个数，刻画了极大子群对有限群的结构的影响，并将所得结果推广到群系。同时研究有限群的非循环子群，完整刻画了非循环子群共轭类为3的所有有限群，证明了非循环子群共轭类数不大于|G|的素因子个数的有限群必为可解群，并给出了他们的同构分类。.有限群特征标理论是由F. G. Frobenius创立，是群表示论的重要组成部分，为研究有限群结构提供了强有力的工具. 记有限群G的所有不可约特征标次数的全体为cd(G) 给定有限群G,本项目主要从|cd(G)|和cd(G)中元素所具有的特定关系 这两个方面考察其对G的结构的影响: 研究非平凡不可约特征标次数均含有至少两个素因子的有限群（记为CDG群）。对于可解CDG群，利用特征标次数图的技巧，我们已经得到临界CDG群的若干刻画。非可解的CDG群，得到了所有能成为CDG群的单群. 首次提出超$\phi$-Brauer特征标理论，对于任意$\phi$-可分群G, 证明了存在两类平凡的超$\phi$-Brauer特征标理论。.研究模Frobenius群的性质和结构，考察模Frobenius群与一般Frobenius群的关系。.研究Berkovich公开问题，考虑特征标次数之间要么整除要么互素的有限群，针对导长为4且特征标次数的个数为4的情况进行分类，不仅给出了具体的实例，并通过分别研究Fitting高分别为2和3的情形，给出了相应的有限群构造。