扩展耦合超可积系统的生成、性质及求解研究

The supersymmetric integrable equations and super integrable systems provide mathematical foundation for supersymmetric theory in physics. This project mainly focuses on the method for constructing nonlinear super integrable couplings of the continuous and discrete case super integrable systems and supersymmetric integrable systems with self-consistent sources, integrability characteristics and exact solutions for the resulting extended coupled super integrable systems. Through the research of this project, we will promote the development of discrete complex analysis, discrete differential geometry and other mathematical tools and generalize the theory of super Sato, super dressing operator and improve the theory of extending super integrable systems. The first one is to give a systematical method for constructing nonlinear integrable couplings of the continuous super integrable systems and discrete super integrable systems through Lie superalgebras. The second one is to construct the super Hamiltonian structures、infinitely many symmetries 、infinitely many conserved quantities . The third one is to solve the resulting super integrable couplings by Bosonization approach. The fourth one is to construct the supersymmetric integrable equations hierarchies with self-consistent sources by applying super Sato theory. Taking the supersymmetric KP hierarchy as a example, we propose two kinds of supersymmetric equations with self-consistent sources through the super dressing operator and the super Baker-Akhiezer function. Then, their Lax representations and reductions are analyzed. Further, we investigate exact solutions for these supersymmetric equations with self-consistent sources by means of the super Hirota method.

超对称可积方程及超可积系统可为物理学中超对称理论研究提供重要的数学基础。本项目主要研究连续与离散的超可积系统的超可积耦合以及带自相容源的超对称可积系统的生成、可积性质及求解。通过本项目的研究，推动离散复分析、离散微分几何等数学工具的发展，丰富与完善超Sato理论、超穿衣算子理论以及超可积系统的扩展理论。拟主要研究：(1)以Lie超代数为工具，给出构造连续与离散的超可积系统的非线性超可积耦合的一般方法。(2)研究超可积耦合的超Hamiltonian结构、无穷多对称、无穷多守恒律等可积性质。(3)利用玻色化方法求解超可积耦合方程。(4)利用超Sato理论，构造带自相容源的超对称方程族（主要以超对称KP方程族为例，利用超穿衣算子和Baker-Akhiezer函数，构造两类带自相容源的超对称方程族）。(5)研究带自相容源超对称方程族的Lax表示及约化，并利用超Hirota双线性方法研究其精确解。

孤立子与可积系统是非线性科学研究的主流方向之一，近些年取得了很多重要的成果。超可积系统是经典可积系统的推广，它与超代数、超微分流形等是研究物理学中超对称理论的重要数学基础。因此，寻找新的超可积模型及其扩展耦合可积系统，并对其相关性质进一步研究是一项重要的工作。本项目主要围绕超可积系统及其扩展耦合超可积系统开展研究，主要取得了如下几方面的研究成果：(1)我们首先构造新的Lie超代数，以Lie超代数为工具，建立矩阵超谱问题，从而给出了建立超可积系统的非线性超可积Hamiltonian耦合的一般方法。一些经典的超可积系统，如超AKNS系统、超Dirac系统、超cKdV系统等，可扩展为含有多位势的耦合系统。(2)基于Lie超代数，将经典的离散可积系统进行超可积扩展，构造了新的离散超可积系统，给出了生成离散超可积系统的AKNS格式。推广了超迹恒等式到离散情形，给出了建立离散超可积系统的超Hamiltonian结构的方法。(3)推广经典带自相容源的可积系统的生成方法，利用超可积系统的对称约束，构造了带自相容源的超可积系统及其非线性超可积耦合系统。(4)研究了扩展耦合超可积系统的超Hamiltonian 结构、约化、无穷多守恒率、Lax表示等可积性质，并利用Hirota 双线性方法、代数几何法等不同方法研究了一些可积方程的精确解。我们的研究丰富了可积系统的扩展理论，为探索超可积系统更多的数学物理性质提供了理论基础。