多输出布尔函数的研究

Multi-output Boolean functions are frequently used in the design of the key stream generators of stream ciphers and the round functions of iterated block ciphers. They are important parts of the nonlinear component of symmetric cryptosystems. Recently, with the rapid development in the fields of permutation polynomials with low differential uniformity as well as other cryptographic properties and lightweight block ciphers, many new problems for studying multi-output Boolean functions are presented. This project will focus on the construction and classification of multi-output Boolean functions used in stream ciphers and block ciphers. Specifically, by applying the tools of algebra, coding theory, combinatorics and finite geometry, we will refine and characterize new indexes and ways to measure the ability of multi-output Boolean functions against the differential attack. We will discuss the constructions of multi-output Boolean functions with low differential uniformity, and construct permutation polynomials with desired cryptographic properties. These can provide more cryptographic functions for the cryptographic systems and have important theoretical and practical significance for developing new methods and techniques in the design and analysis of S-boxes of block ciphers.

多输出布尔函数常用于设计流密码的密钥流生成器和迭代分组密码的轮函数，是对称密码系统非线性部件的重要组成部分。近年来，具有低差分等其它密码学性质的置换多项式和轻量级分组密码等领域的迅速发展为多输出布尔函数提出了许多新的研究问题。本项目将集中研究流密码和分组密码中多输出布尔函数的构造和分类等问题。具体地，我们将综合运用代数学、编码学、组合学和有限几何等工具，探讨低差分多输出布尔函数的构造；构造具有优良密码学性质的置换多项式。这些研究可为密码系统提供更多可供选择的密码函数；对发展新的分组密码S-盒设计与分析的方法和技术具有重要的理论和实际意义。

流密码的密钥流生成器和分组密码的轮函数是对称密码的重要非线性部件，用作设计它们的多输出密码函数应具有好的密码学性质以抵抗各种攻击，比如低的差分一致性，高的代数次数，高非线性度和置换等性质。本项目研究流密码和分组密码中的多输出布尔函数，综合运用代数学、编码学、组合学、有限几何和计算机代数等工具研究低差分多输出布尔函数和置换多项式的设计等问题，希望找到优秀的多输出布尔函数。对于低差分多输出布尔函数的研究，我们运用有理函数构造了一系列具有最优代数次数的6-差分非单项式置换，并证明了这些置换多项式中存在CCZ不等价的函数类，而且它们和一些已知的6-差分置换也是CCZ不等价的；同时，通过有限域上有理函数构造了一类6-差分非单项式分段置换，刻画了它们的非线性度下界；分别给出了向量布尔函数是弱APN的必要条件和4-差分函数是弱APN的充要条件，证明了某些已有的4-差分置换是弱APN置换，并研究了两类弱APN置换的非线性度和代数次数，给出了其取值范围。对于有限域上的置换多项式，我们研究了特征2有限域上一类来源于Kloosterman和的具有特殊形式的置换多项式，并得到了8类这种形式的置换多项式，进一步探讨了特征p上这类多项式的置换性质，得到了一系列新的置换多项式；刻画了一类具有Niho-型指数三项式的所有系数，同时说明了我们构造的某些这类置换三项式和已有的置换三项式是quasi-multiplicative (QM) 不等价的；构造了一类具有Niho-型指数的置换四项式，通过研究其差分性质和非线性度，得到了大量的具有高非线性度的4-差分置换；同时也研究了具有Niho指数的幂函数的非线性度，为置换单项式非线性度的研究提供了有力工具。这些研究对设计优秀的密钥流生成器和轮函数具有重要的理论意义和应用价值。