Musielak-Orlicz-Sobolev 空间中的迹嵌入及其应用

This project studies the trace imbeddings in the Musielak-Orlicz-Sobolev spaces and their applications, including the trace embedding in the inner plane, the trace embedding on the boundary, and based on the theory we will develop, the project studies the solution existence theories of the elliptic operator equations with strong non-linearities under the Neumann boundary conditions. The investigation on the Musielak-Orlicz-Sobolev spaces originated from the research in the nonlinear differential equations studied recently in mathematics. And many basic problems need solutions. It is worthy of attention in this new research field about the Sobolev space theory. The studies of this project can provide some valuable conclusions and research methods. The implementation of this project can play a research foundation role for the research of strong nonlinear operator partial differential equations, and push forward a new development in the nonlinear analysis theory.

本项目研究 Musielak-Orlicz-Sobolev 空间中的迹嵌入定理及其应用，其中包括：内部迹嵌入定理、边界迹嵌入定理，以及在此基础上研究 Neumann 边值条件下强非线性椭圆方程解的存在性理论。Musielak-Orlicz-Sobolev 空间理论的研究来源于对强非线性椭圆算子方程的理论研究，在数学上研究的时间较短，许多基本问题尚未解决，是值得重视的 Sobolev 空间理论研究的新领域。本项目的研究将给出有价值的结论与研究方法，为强非线性偏微分方程理论的研究打下基础，推动非线性分析理论的发展。

Musielak-Orlicz-Sobolev 空间的研究起源于上世纪80 年代，这一理论由 Musielak 在其著作中提出并且有了初步发展。该理论的研究主要用来解决非线性程度比较高的 PDE 问题，特别是跟非线性程度较高的椭圆算子问题相关。本项目研究 Musielak-Orlicz-Sobolev 空间中的迹嵌入定理及其应用，其中包括：内部迹嵌入定理、边界迹嵌入定理，以及在此基础上研究 Neumann 边值条件下强非线性椭圆方程解的存在性理论。通过该项目的研究，我们发现：在一些合理的假设条件下，内部低维超平面迹嵌入定理、边界迹嵌入定理都是可以实现的；我们还给出了一类完全非线性椭圆型方程 Neumann 边界条件下解的存在性定理，其中包括山路型解存在的条件，以及无穷多解存在的条件。同时我们还研究了与 Musielak-Orlicz-Sobolev 空间理论相关的一些课题: 1, Musielak-Orlicz-Sobolev 空间中一类泛函的局部极小点的有界性; 2, Musielak-Orlicz-Sobolev 空间中的 Calderon-Zygmund 理论的推广等。 Musielak-Orlicz-Sobolev 空间理论的研究来源于对强非线性椭圆算子方程的理论研究，在数学上研究的时间较短，许多基本问题尚未解决，是值得重视的 Sobolev 空间理论研究的新领域。本项目的研究给出了有价值的结论与研究方法，为强非线性偏微分方程理论的进一步研究打下基础。