拟凸域和拟齐性流形上的全纯不变量的研究

The pseudoconvex domains and quasi-homogeneous manifolds are the important objects in Several Complex Variables and Complex Geometry which are the front of the international mathematics. This research focuses on the analytic invariants on the pseudoconvex domains and quasi-homogeneous manifolds, which is including the balanced metric, Kahler-Einstein metric and Kobayashi metric on some pseudoconvex domains, the comparison of the speed of metrics between different measures; the complete orthogonal basis, Bergman kernel function and holomorphic automorphism group on some pseudoconvex domains; Lu Qikeng’s problem and the distribution of the zero points; and the comparison between some kinds of metrics on quasi-homogeneous manifolds.

拟凸域和拟齐性流形是多复变函数论、复几何等国际数学主流研究中的重要对象。本课题主要研究拟凸域及拟齐性流形上的全纯不变量，主要包括某些拟凸域上的平衡度量，Kahler-Einstein度量及Kobayashi度量，不同测度下度量逼近速度的比较，某些特殊拟凸域上的完备规范正交系、Bergman核函数及全纯自同构，陆启铿问题及零点存在情况及分布情况，以及一些拟齐性流形之间的度量比较等。

项目实际研究仍在拟凸域和拟齐性流形上进行，除了计划中对Kahler-Einstein度量、全纯自同构群及陆启铿问题的相关研究外，也对等距嵌入问题，以及Bergman核函数生成的Kahler度量的d-有界性进行了相应的研究，并考虑了L2上同调消没定理及Kahler双曲性的问题。Kahler度量的d-有界性的研究，对解决许多问题有很大帮助。例如Kobayashi猜想，L2消没定理问题，一致挤压域上是否允许正超凸指标的问题及Bergman距离的下界估计等。项目主要得到的结果为：给出了一类拟齐性域上的Bergman核函数；证明了拟凸Hartogs域到复空间形式的全纯等距嵌入的存在性；给出了一类Bergman-Hartogs域的全纯自同构群；给出了Thullen域及第一类超Cartan域上Bergman核函数的零点存在性结论及零点簇的拓扑分布；给出了拟圆型域上全纯函数的拟齐次展开定理和一组完备规范正交系的构造形式，并给出了对称超球的规范正交系及Bergman核函数；给出了以典型域为底的超Cartan域上Bergman度量的d-有界性结论及L2上同调消没定理和Kahler双曲性。