适用于多片复杂结构分析的高阶三维等几何配点方法研究

Isogeometric analysis (IGA) method applies the same spline basis function for the geometry design and the structure analysis in order to bridge CAD and FEA. The IGA methods can be divided into two categories which are the Galerkin-based IGA and the IGA collocation, respectively. The Galerkin-based IGA method is more stable and accurate than the IGA collocation, but its computational efficiency will decrease as the order of the polynomial degree increasing. The IGA collocation method performs much better on the computational efficiency, but in some cases the method is unstable and needs more techniques to handle complex boundary conditions. In the current project, we are going to develop an enhanced isogeometric collocation method for complex structure analysis. Based on the superconvergent theory, the enhanced isogeometric collocation defines the superconvergent points as the new collocation points, which can improve the accuracy and obtain the optimal convergent rate. The enhanced isogeometric collocation method combine the Galerkin-based IGA and the IGA collocation, having a mixed linear solving system, which can guarantee the stability with high efficiency when dealing with problems with complex boundary conditions and multi-patches. Based on the PHT-spline, the enhanced isogeometric collocation can carry out adaptive local refinement. The refining procedure is determined by the recovery solution error estimation, which is efficient even without knowing the analytical solution of the solving problem. With the proposed research in this project, we expect to further develop IGA from both the algorithm design and applications points of view, providing theoretical support and numerical analysis approaches to solve the practical engineering problems.

等几何分析法结合计算机辅助设计与有限元分析，可实现从几何构型到结构分析的无缝连接。等几何分析法主要分为伽辽金法及配点法，其中等几何配点法计算效率较高，具有较高的工程应用价值。然而，等几何配点法仍有两个核心问题亟待解决，即高阶单元内配置点的选取及施加边界条件的稳定性。本项目拟提出一种适于多片复杂结构分析的加强等几何配点法，其核心内容主要体现在以下四个方面：1）将超收敛理论扩展至任意高阶单元，并且保证对应的线性方程组系数矩阵是有效方阵；2）针对非均匀网格，定义基于复原解的局部细分准则，研究适于高阶配点法的具有局部细分功能的基函数单元；3）简化配点法边界条件施加，提出伽辽金及配点法的耦合算法；4）发展高阶三维配点算法，以满足工程中对高阶连续性计算的需要。通过本项目研究，对于完善等几何配点法的理论体系具有重要意义，为解决工程实际中的复杂结构分析问题提供新的理论依据及数值分析手段。

等几何分析法是一种高阶连续有限元计算方法，它将计算机辅助设计和有限元分析有机结合，实现从几何构形到结构分析的无缝连接。目前，等几何分析方法主要分为等几何伽辽金法和等几何配点法，其中等几何配点法具有较高的计算效率和较低的计算成本，因此具有重要的工程应用价值。然而，该方法的理论及算法研究仍不足，存在两大亟待解决的关键问题，即高阶单元内配置点的选取及复杂几何边界条件计算的稳定性。为此，本项目研究了一种适用于多片复杂几何结构分析的加强等几何配点法，其核心研究内容主要体现在以下三个方面：首先，研究了适用于等几何配点法且具有局部细分功能的高阶基函数单元；其次，研究了基于改进的PHT样条单元自适应等几何配点法，研究了各阶单元内配置点的选取，尤其是非均匀网格内配置点的分布；最后，应用基于改进的PHT样条单元的高斯配点法求解复杂多片几何结构分析问题。目前，本项目已将超收敛理论扩展至任意高阶单元连续性计算，基于改进的PHT样条单元的高斯配点算法已实现任意高阶单元连续计算，并且满足自适应局部细分功能，数值实验表明各阶单元均可实现最优收敛率，其计算结果与理论值吻合。此外，应用改进的高斯配点法能有效的求解多片复杂几何结构分析问题，对于复杂几何结构采用多片几何构形，保证片间连续性并且对几何特征区域能够精确建模，无需几何重构避免计算中引入几何误差，本算法具有自适应局部网格细分功能，基于复原解及复原解误差定义局部细分准则，即使问题没有解析解，本算法依然可以找到应力集中区域对该区域自适应非均匀网格细分，有效降低计算误差，适用于多层网格算法，并且保证网格划分过程中最优收敛率计算结果。因此，本项目的研究不仅对于完善等几何配点法理论体系具有重要意义，而且为解决工程实际中的复杂结构分析问题提供了新的数值分析手段，可以有效降低计算成本，提高计算效率，从而更好地满足工程实际应用的需求。