加速寿命试验中小样本最优设计方法

Optimal design is one of the most important contents in the accelerated life tests, which is widely applied in industry. However, all the optimal designs are based on the large sample approximation method, which will have large bias in the case of small sample size. Morever, there are no literatures about small sample optimal design until now. In this project, we utilize the high order approximation of maximum likelihood estimators and Edgeworth expansion to modify the classical optimal design in the case of small sample size, and apply regression design method to improve the efficiency of Monte Carlo method used in Bayesian optimal design, which also avoids the step of curve fitting. Besides, a new optimal design criteria is proposed from the perspective of information theory, that is, maximizing the expectation of the Kullback-Liebler distance between prior distribution and posterior distribution. Then we consider the relationship between the criteria and the given criterias, and give two methods to compute the optimal design. This project will provide some new methods to compute the optimal design when the sample size is small, and present a new way from the information theory perspective to study the optimal design.

在加速寿命试验中，最优设计一直是最重要的研究内容之一，在工业上有着广泛的应用，但是目前最优设计都是基于大样本近似方法，这在小样本情形下会出现较大的偏差，而对小样本最优设计的研究一直没有相关文献。本课题利用极大似然估计高阶近似和Edgeworth展开在小样本情形下对经典最优设计进行修正；结合回归设计方法提高贝叶斯最优设计中蒙特卡洛法的计算效率，避免了曲线拟合的步骤；从信息论的角度提出新的最优设计准则：先验分布与后验分布的Kullback-Liebler距离的期望最大，并研究该准则与已有准则的关系，给出两种方法计算最优方案。本项目将为小样本情形下的最优设计提供新方法，并从信息论的角度提出研究最优设计的新思路。

加速寿命试验是评价高可靠寿命产品可靠性的一种常用寿命试验方法。比起常规的寿命试验，加速寿命试验能够大大地节约试验时间和试验成本，因此，在工业界得到广泛地应用。在加速寿命试验中，最优设计一直是最重要的研究内容之一，但是目前最优设计都是基于大样本近似方法，这在小样本情形下会出现较大的偏差，而对小样本最优设计的研究却非常少。本项目主要研究了小样本场合下加速寿命试验的最优设计方法，并取得了以下结果：（1）基于Kullback-Liebler距离，从信息论的角度提出新的贝叶斯最优设计准则，称为reference最优准则，同时提出大样本近似法以及蒙特卡洛法来寻找基于reference最优准则的最优设计方案，通过例子说明该准则与已有准则之间的联系与差别，这是国际上首次从信息论角度研究加速寿命试验最优设计，具有原创性；（2）针对贝叶斯最优设计准则以及reference最优设计准则中的蒙特卡洛法，根据不同类型的模型提出相对应的后验抽样方法，提高蒙特卡洛法的计算效率，模拟例子也说明了该方法的计算效率较高；（3）针对广义指数分布恒加试验的情况，我们基于D-最优准则以及V-最优准则给出了恒加试验的最优方案，并证明了该最优设计方案是全局最优的。除了这些课题中提出的研究问题，我们还附加研究了以下问题：（1）在客观贝叶斯方法方面，我们结合线性退化模型、相关竞争失效模型、屏蔽数据问题、基于威布尔分布的恒加试验以及基于Wiener过程恒加退化试验做了分析，并证明了基于reference先验得到的后验估计具有很好的频率覆盖概率，数值模拟也很好地验证了这点；（2）在加速寿命试验屏蔽数据方面，我们在非对称假设下提出了贝叶斯法以及多层贝叶斯法来估计模型中的参数，并通过数值例子来说明这两种方法比极大似然法更优；（3）在手足口病模型方面，我们提出了随机微分方程模型以及时空ARMA模型来分析温州市手足口病数据，这两种模型能很好地刻画手足口病的时空效应以及爆发时期，对控制以及预防手足口病有一定的参考价值；（4）此外，我们还研究了非参数混合效应模型中后验的正常性，并给出了判断后验分布正常性的充分条件；针对Birnbaum-Saunders分布，给出了两种信仰推断方法，并通过数值模拟说明了信仰推断方法要比已有的估计方法更优。