部分双曲动力系统的非稠密轨道和中间熵

In this project, we study the non-dense orbits (including bounded orbits) and intermediate entropies of ergodic measures in partially hyperbolic dynamical systems. Our research demonstrates that partially hyperbolic systems own an abundance of compact invariant subsets and ergodic measures, and hence have high complexity. Specifically, our aim is to make progress on the following three problems:..(1).In 1990, Margulis made a conjecture that the set of points with bounded orbits in a partially hyperbolic homogeneous flow has full Hausdorff dimension, which was proven later in 1996. Nowdays, a stronger open conjecture is that such a set is winning for Schmidt games. Winning property is much stronger than having full Hausdorff dimension. We hope to achieve new results on this problem...(2).We also study the above conjecture in the setting of partially hyperbolic diffeomorphisms, namely, the set of points with non-dense orbits is winning. ..(3).Based on the non-dense orbits, we can construct an abundance of compact invariant subsets, and study Katok’s conjecture on intermediate entropies in the setting of partially hyperbolic diffeomorphisms: there exists an abundance of ergodic measures, whose entropies attain any real number between zero and the topological entropy of the system.

在本项目中，申请人拟研究部分双曲动力系统中的非稠密轨道（包括有界轨道）和遍历测度的中间熵。我们的研究表明部分双曲系统拥有大量的紧不变子集和不变测度，因而具有高度的复杂性。具体来说，我们希望在以下三个问题上取得进展:..（1）Margulis 于1990年猜想部分双曲齐性流下具有有界轨道的点形成的集合具有满 Hausdorff维数，该猜想在1996年被解决。一个更强的公开猜想是该集合在 Schmidt博弈下致胜。致胜是比满 Hausdorff维数强得多的一个性质。我们希望在这个问题上取得新成果。..（2）其次我们研究上述猜想在部分双曲微分同胚下的形式，即具有非稠密轨道的点形成的集合致胜。..（3）通过非稠密轨道可以构造大量的紧不变真子集，据此我们研究Katok中间熵猜想在部分双曲微分同胚下的情形：系统中存在大量的遍历测度，它们的熵可以取到从零到系统拓扑熵之间的任意实数。

光滑遍历理论可以追溯到上世纪40年代Anosov对一致双曲系统遍历性质的研究。近三十年来，部分双曲系统成为研究热点。该类系统具有高度复杂性， 拥有大量的非稠密轨道和不变测度。特别的，部分双曲齐性流的有界轨道集合具有满Hausdorff维数；不变测度方面，Katok提出了中间熵猜想，该猜想公开至今。..本项目围绕部分双曲系统的非稠密轨道，中间熵和不稳定熵展开研究。我们研究非稠密轨道集合在Schmidt博弈下的致胜性质，该性质强于满Hausdorff维数性质。为了研究Katok中间熵猜想，我们重点研究部分双曲系统在不稳定方向上的熵，即不稳定熵。..本项目就上述问题取得了一系列结果。首先，我们首次对部分双曲系统引入了不稳定熵的概念，证明了其上半连续性，建立了变分原理，并研究了不稳定压和u-平衡态。在不稳定熵的启发下，我们对不可逆拓扑动力系统研究了原像熵和原像压的变分原理。其次，我们推广了Schmidt博弈来研究部分双曲系统非稠密轨道的拓扑熵，并研究了在一个系统下稠密同时在另一系统下不稠密的轨道集合的Hausdorff维数。最后，我们对无焦点流形上测地流的最大熵测度，和Berwald流形的刚性现象得到了一些结果。..本项目执行期间共发表了12篇SCI文章，包含1篇Advances in Mathematics和5篇动力系统顶尖期刊Ergodic Theory and Dynamical Systems。不稳定熵的结果为部分双曲系统中间熵猜想、热力学机制等问题提供了有效工具，成果被著名动力系统专家Pesin,Viana,Crovisier,Wilkinson,Tahzibi等本质引用；我们对一般部分双曲系统的非稠密轨道发展了Schmidt博弈理论，被美国数学会评论员评价为 ··very deep and technically advanced‘’。