希尔伯特空间中黎斯对偶的谱刻画及其在图信号处理中的应用

Frame theory becomes a research trending recent years since it widely and deeply impact many regions including mathematics and computing science. As an important concept in frame theory, Riesz dual has attracted wide attention. Especially, whether the Ron-Shen dual principle in Gabor system can be derived by Riesz dual in general frame theory is still an open problem. In order to solve this problem, the method of generalizing Riesz dual in three types are introduced by Christensen etc., which is a little more complicated and has not made significant progress yet. Therefore, the characterization by frame operator of Riesz dual in a general Hilbert space is introduced by Zhuang Zhitao etc. in 2015. In order to obtain an intuitive and easy to verify condition, this project intends to characterize Riesz dual by spectrum of frame operator. The main research contents as follows:. Firstly, since finite frame has better application value and simple spectral representation of frame operator, we generalize the Riesz dual to finite dimensional space for analyzing its characterization by spectrum and applying it to graph signal processing for decomposition of frequency and its representation by frame dictionary; Secondly, we consider the problem of unitary equivalent for solving the spectral characterization in infinite dimensional space and analyzing its influence in Gabor system.

框架理论在数学和计算科学等领域均有广泛且深刻的影响，因此成为近几年的一个研究热点。黎斯对偶作为框架理论的一个重要概念也广受关注，特别是Gabor系下的Ron-Shen对偶原理能否由一般的黎斯对偶导出仍是一个公开问题。为了解决此问题，Christensen等人提出了推广黎斯对偶的方法，但此方法稍显复杂且仍未取得重大进展，所以庄智涛等人在2015年提出了一般希尔伯特空间中黎斯对偶的算子刻画方法。为了更进一步得到直观且易于验证的条件，本项目首次提出用算子的谱来刻画黎斯对偶的方法，拟研究的具体内容如下：. 首先，因为有限维框架具有更好的应用价值，并且算子的谱表示相对简单，所以我们将黎斯对偶的概念拓展到有限维空间，分析它在有限维空间中的谱刻画，并将其应用于图信号的频率分解和框架字典表示；其次，利用算子酉等价方法尝试解决无限维空间中黎斯对偶的谱刻画，并分析其在Gabor系中的作用。

随着数据科学与学习理论的发展，作为其重要研究工具的框架理论也受到了广泛的关注。如今，框架理论已经在信号和图像处理，非调和分析，压缩感知，采样理论，相位恢复等研究领域有着重要的应用。在理论方面，巴拿赫空间中的框架，概率框架等新概念也相继发展起来。而黎斯对偶自2004年提出以来，因其与Gabor分析中Ron-Shen对偶的紧密联系而受到许多学者的重视。本项目研究了希尔伯特空间中两个序列成为黎斯对偶的等价刻画。特别的，我们证明了两个序列能成为黎斯对偶当且仅当它们的框架算子满足维数关系且具有相同的点谱。. 相位恢复因为在X射线晶体学，语音识别，天文学和计算机生物学等方面的广泛应用而成为近几年的一个研究热点。相位恢复问题可分为有限维空间中的相位恢复和无限维空间中的相位恢复。不同于有限维空间中的相位恢复，无限维空间中的相位恢复不具有一致稳定性。有限维空间中的稳定性由Balan，Eldar等人给出。作为相位恢复的推广，广义相位恢复和广义仿射相位恢复也被提出。本项目给出了广义相位恢复的稳定性结论。证明了广义相位恢复在两种不同的范数下具有双利普希茨性质，给出了信号无偏估计均方误差的Cramer-Rao下界。虽然广义仿射相位恢复不具有双利普希茨性质，但我们证明了关于不同范数，它仍具有利普希茨上下界，并且计算了它的Cramer-Rao下界。此外，本项目还把推广后的极化公式应用到了相位恢复的图方法中。