图能量若干问题的研究

The energy of a graph G is defined as the sum of the absolute values of its all eigenvalues,denoted by E(G). As we know, the extremal problem of graph spectral is one classic problems of graph theory. Famous mathematician Gutman expands this area to spectral moments of extremal problems. Such development problems, closely linking with algebraic graph theory and matrix theory, is a hot topic of graph theory study in the last three decades. Extremal value-energy problem and extremal value problems of energy-like invariants also belong to such expansion. Meanwhile, the extremal value problem of graph energy has important linked with combinatorics and algebra, and has important applications in these fields as molecular synthesis and chemical and pharmaceutical etc...This project aims to study extremal value of graph energy and characterizes the the corresponding extremal graph with the extermal values. From the properties of algebraic and combinatorial of characteristic polynomial, we study these problems, and try our best to solve the related conjectures in graph energy. Combining conclusions of spectral of graph, we study equienergetic graph problems by using methods of matrix theory and graph operations. Together the method of the classical spectral of graph with probabilistic method, we research the relation between energy and several energy-like invariants ( Laplacian energy, incidence energy, distance energy and matching energy, etc.). Combining those methods of extremal graph theory to properties of the structure of graphs, we discuss further the extremal value problems of energy-like invariants.

图的能量定义为图所有特征值的绝对值之和。众所周知，图谱的极值问题是经典图论问题之一。著名数学家Gutman拓展这一领域到图的谱矩的极值问题。这类拓展问题，与代数图论和矩阵理论有着紧密联系，是近三十年来图论研究的热点问题。图能量的极值问题以及类能量型的不变量的极值问题都属于此类拓展问题，同时，图能量的极值问题的研究与组合学和代数学有着重要联系，且在分子合成和化学制药等实际领域有着重要应用。. 本项目旨在研究图能量的极值以及极图的刻画问题。借助于特征多项式的代数和组合的性质，来研究这类问题，力争解决相关猜想。结合图谱的相关结论，利用矩阵论的方法和图运算来研究等能量图问题。将经典图谱中的方法与概率方法相结合，从整体上来研究图能量与若干类能量型的不变量(拉普拉斯能量、距离能量、关联能量和匹配能量等)间的关系。结合极值图论中的方法和图结构的性质，进一步讨论类能量型的不变量的极值问题。

众所周知，分子图是与化学分子结构相对应的图类。从上个世纪中后期开始，伴随有机化学和物理化学的快速发展，对分子结构的稳定性理论研究的重要性也就突显出来了。图的拓扑指标是依据分子图的某些性质而定义的图的不变量。图能量是基于分子的电子轨道的能量总和而给出定义的，也是图的谱理论的的一个推广。图的匹配能量是与图能量紧密相关的另外一个不变量。项目负责人正是在图能量研究中，特别是在图能量的极值研究中，出现了大量拟序不比问题时，而申请立项的。在前期的研究基础下，在能量的拟序不比问题上，取得了突破；在图的匹配能量的相关问题上，完全刻画了图在给定参数下的极值结构（如，图的边连通度，围长和禁止子图等）。这些结果的获得，一方面完善了图能量的相关极值问题的研究，另一方面为其它类能量的研究提供了可行性。此外，在该项目的资助下，我们也研究了距离拓扑指标相关问题，且取得了突破，这些成果推进了距离拓扑的极值刻画。该项目的顺利完成为后继的研究打下良好基础。