半线性椭圆型方程Neumann边值问题解的存在性和分歧的研究

The study on the existence and bifurcation of solutions for the semilinear elliptic equations with Neumann boundary conditions is very hot and difficult problem. In this project, using the anti-maximum principle, topological degree theory, Crandall-Rabinowitz bifurcation theorem and the comparison priciple of eigenvalues, we investigate the existence,uniqueness and bifurcation of solutions for the semilinear elliptic equations. The multiplicity of solutions is the important feature of nonlinear equations. In this project, we investigate the existence and uniqueness of solutions for a class of the semilinear elliptic equations with Neumann boundary value conditions. On the other hand, we investigate the bifurcation of solutions for the nonautonomous system under Neumann boundary-value conditions on the symmetric regions such as disk and ball, which has important scientific significance and application value in solving nonlinear problems. The results on the existence and bifurcation of solutions for the nonautonomous system with Neumann boundary conditions are very few. This project provides the new ideas for the study in this area.

在Neumann边值条件下对半线性椭圆型方程解的存在性和分歧的研究是一个热点和难点问题。本项目将用反极值原理、拓扑度理论、Crandall-Rabinowitz分歧定理和特征值比较原理等研究方法，重点在Neuamnn边值条件下对半线性椭圆型方程解的存在性、唯一性和分歧进行研究。非线性方程的一个重要特点是多解的存在性。在本项目中，一方面得到一类半线性椭圆型方程在Neumann边值条件下解的存在性和唯一性；另一方面在圆盘和球等对称区域上得到一类非自治微分方程Neumann边值问题解的分歧，具有重要的理论意义和应用价值。由于非自治微分方程Neumann边值问题解的存在性和分歧的研究很少，本项目为这方面的研究提供了新的思路。

非线性方程的一个重要特点是多解的存在性，分歧现象经常出现在非线性问题的解决当中。本项目重点对半线性椭圆型方程解的存在性、唯一性和分歧进行了研究，具有重要的理论意义和应用价值。一方面，利用拓扑度理论和特征值比较原理得到了一类半线性椭圆型方程在Neumann边值条件下解的存在性和唯一性，改进了扰动项满足的条件，使得这个条件更精确而且适用范围更广；进而在算子不具有连续性的情况下得到了一类新算子的不动点定理，为研究解的存在性提供了理论基础。另一方面，利用建立的一致反极值原理、结合拓扑度理论和分歧定理等理论得到了在一维情况下一类Neumann边值问题解的确切个数和分歧；进而利用分歧理论在环形区域研究了一类半线性椭圆型方程正的径向解的唯一性。丰富和扩展了半线性椭圆方程解的性质的理论结果，对于描述各种现象的发展规律起着至关重要的作用。