半线性椭圆方程(组)Neumann边值问题Bonheure-Noris-Weth猜想的研究

Many problems in the natural science are related to semilinear elliptic equations (system), such as elasticity, fluid mechanics, population problem and chemical reaction, etc., which attracted widespread attention. The existence of nonconstant positive solutions for semilinear elliptic equations(system) Neumann boundary value problems is more complex than the study of positive solutions of such equations (system) with Dirichlet boundary conditions. Bonheure, Noris and Weth studied the existence of nonconstant positive radial solutions for a semilinear elliptic problems with Neumann boundary conditions, and conjectured that there exists at least one positive radial solution with many intersections with constant solution. So far the conjecture is partly solved. Therefore, in this project, we continue to solve the conjecture and extend it to the corresponding semilinear elliptic system. More precisely, we establish the bifurcation of nonconstant positive radial solutions for the above single equation under the supercritical case; based on the global bifurcation theory in wedge, weaker sufficient conditions of existence of nonconstant nondecreasing positive radial solutions for the system are put forward, and we show the influence of the nonlinearity on positive solutions when the sublinear growth or superlinear growth are satisfied at infinity.

自然科学中很多问题和半线性椭圆方程(组)有关，例如弹性力学、流体力学、人口问题和化学反应等，并引起人们的广泛关注。相比这类方程(组)在Dirichlet边界条件下正解研究，关于半线性椭圆方程(组)Neumann边值问题非常值正解存在性会更加复杂。Bonheure,Noris和Weth研究一类半线性椭圆方程Neumann边值问题非常值径向正解存在性，并提出猜想: 该类问题存在与其常值解有多个交点的径向正解。目前，这个猜想仅仅得到部分解决。因此，本项目继续解决该猜想并发展到相应的方程组。具体地，在超临界增长下建立单个方程非常值径向正解的分歧；运用楔上的全局分歧理论给出方程组存在非常值非减径向正解较弱的充分条件，讨论非线性项在无穷远处次线性增长或超线性增长时对正解的影响。

自然科学中很多问题和半线性椭圆方程(组)有关，例如弹性力学、流体力学、人口问题和化学反应等，并引起人们的广泛关注。自十八世纪以来，关于半线性椭圆型方程(组) Dirichlet边值问题正解的存在性、唯一性及渐近性等方面已取得了很多令人瞩目的成就，而研究半线性椭圆型方程Neumann边值问题非常值正解存在性相对复杂，具有很强的挑战性，但是这类Neumann边值问题描述了解在边界点梯度为零的大量物理现象，近年来，一直都是诸多数学家关注的热点问题之一。本项目运用全局分歧理论深入系统地研究了半线性椭圆型方程Neumann边值问题非常值径向正解的存在性、多解性以及解集连通分支的全局结构，这是对Bonheure-Noris-Weth猜想的部分解决；基于分歧理论、打靶法、临界点理论、下解方法、拓扑度理论等，将Bonheure-Noris-Weth猜想的部分结果推广和发展到拟线性椭圆方程Neumann边值问题中，特别地，获得了Minkowski型平均曲率方程Neumann边值问题非常值径向正解的存在性；对带有Neumann边界条件的半正非线性弹性梁方程在一定条件下正解的存在性和多解性也做了深入研究；建立了二阶离散Neumann边值问题的Ambrosetti-Prodi型结果，在变系数情形下，给出了正解存在的充分条件，同时讨论了超线性半正Neumann边值问题正解的存在性和多解性。这些结果推广和改进了已有相关文献的重要结果。我们的研究成果以学术论文的形式体现，在国内外一些具有影响力的学术刊物上发表学术论文24篇。