保结构间断谱元法在地震波数值模拟中的应用理论基础研究

Based on the structure-preserving algorithm, this project aims to design a new numerical method which can be used to simulate the global propagation of the seismic wave. In order to solve the dispersion problem produced by the faults discontinuity existing in the inner earth, we combine the discontinuous Galerkin method and the spectral element method to discretize the spatial domain. With the purpose of long-time simulations, we apply the symplectic algorithm on the discretization of the time domain to construct a numerical scheme which is not only with high order accuracy, good locality and easy for parallelization, but also belongs to structure-preserving methods. To apply such method on the global simulation, we make some parallel processing to satisfy the request of large-scale high-performance numerical simulation.

本项目基于保结构算法的思想，设计适用于全球性地震波传播的新的数值模拟方法。为了处理由地球内部存在的断层不连续面所带来的频散效应，我们采用间断有限元法和谱元法相结合的思想，对地震波方程空间域进行离散；为了实现算法的长时程跟踪能力，我们将辛算法运用到时间域的离散上，由此构造出来的算法不仅精度高、局部性好、极易并行化，且属于保结构算法；为了把所得算法应用到全球尺度的模拟上，我们将其进行并行化处理，以满足高性能大规模数值模拟的要求。

高性能的数值模拟已经成为研究地球介质中地震波传播问题的主要手段，本项目研究具有低频散、长时程稳定性以及能捕捉介质本身耗散的数值算法。目前，我们已经取得的一些重要结果如下：.从变分积分子的角度出发，我们首次给出了一类波动方程的拉格朗日量，并结合离散变分原理，成功构造出多种多辛格式来模拟不同孤立波的传播和碰撞情况。.针对带间断解问题，我们设计了一种可以同时保结构和捕捉间断的算法，其核心思想是基于分裂技巧，即将原方程先分裂成两部分，一部分蕴含间断解，对该部分我们采用可以处理间断情况的WENO格式；另外一部分则不含间断，对该部分我们构造多辛算法。最后将两部分组合起来。数值实验成功地模拟出间断解的产生和传播。.为了降低地震波数值模拟中的频散现象，我们构造了空间高精度的离散方法。从离散奇异卷积的核函数出发，我们导出了相应的微分矩阵，该微分矩阵具有带宽短、精度高的特点，非常适合构造高效高精度的数值算法。.我们也研究了保能量的保结构算法。首先我们导出了连续情况的能量守恒律，再利用复合构造的思想，成功构造出局部保能量算法。.为了进一步提高时间离散方法的计算效率，我们提出了分组平均向量场方法，该方法与传统的平均向量场法相比，所得格式从全隐的变成线性隐的或者半隐的，大大提高了计算效率。.我们证明了局部间断有限元方法作为空间离散，也可以构造多辛算法，只要选取合适的数值通量。.通过分裂算法，我们构造了带耗散项薛定谔方程的保结构算法，并给出了离散的共形质量守恒律，为耗散地震波模拟打下扎实基础。.对二维耗散的声波方程和弹性波方程，我们分别构造了低频散、高精度的保结构算法。其核心思想基于分裂算法、谱元法以及高阶时间离散算法。通过benchmark测试，验证了我们算法的有效性。对实际复杂地形的模拟也展示算法的鲁棒性。