平面连续与不连续系统的若干定性性质

In the research of qualitative theory of planar systems, the number and the relative position of limit cycles play an important role. In this project, we plan to study planar smooth or non-smooth systems about this topic, some of which is the generalization of previous works and some of which is new. Concretely, Study on the following problems: On the complexity of the order of focus value in Hopf bifurcation and give a lower bound on the order of the first non-zero focus value; Use normal form thery to establish a relation of a piecewise smooth system with a center and intrgrable or reversible system; Give a new method to estimate some Abelian integrals, in general, these integrals are not algebraic; Give new estimate of the number of critical points of period function and use this method to solve some problems from other fields.

在平面系统的研究中，极限环的数目及其相对问题起到了非常重要的作用，本项目计划在几个方面对平面连续不连续系统的这方面的相关问题做探讨，部分内容是申请人以前工作的深化与发展，另一部分则是新的。具体内容包括：Hopf分岔中焦点量阶数问题的复杂性分析，给出首个非零焦点量的阶数的一个下界估计；通过正规型理论，建立平面分段光滑系统的中心与可积、可逆系统的联系；给出Abelian积分零点个数的估计的新方法，在应用中积分很可能是非代数的；给出周期函数的临界点个数的新估计并将用这种方法解决一些来自于其他方面的问题。

本项目对平面上光滑或分段光滑的系统的定性性质做了大量的研究：首先，考虑弱化的希尔伯特第16问题相关的问题：假设系统有一个周期环域（充满了闭轨），在扰动后大量闭轨消失，极个别闭轨保留，求留下的闭轨个数的上确界。这个问题会转化为阿贝尔积分的零点个数问题。本项目的工作集中在此问题上，得到了一些本质进展，特别是，在2020年的论文中给出了一个新的估计零点个数的方法，预期会有大量应用。其次，对于本方向其它的问题，如等时中心，可积性，周期函数等，本项目也有涉及，得到一些结果，例如：在2019年的论文中，假设系统在鞍点处不可积的前提下，给出了相应系统鞍点量的最大可能阶数的一个估计，展示了问题的复杂性。最后，本项目对其它相关领域的问题，如证明了一类Sitnikov问题中的对称周期解的稳定性，回答了一个通过数值计算得到的猜想。总的来讲，本项目进展顺利，得到了预期的结果。指标上，本项目在以上三个方面均有文章发表，共计SCI论文13篇.