离散时间更新风险模型的破产风险问题研究

本项目以离散时间更新风险模型为研究对象，具体内容包括：对于普通的离散时间更新风险模型，在索赔间隔时间服从离散的位相型分布时获得期望贴现惩罚函数的递归方程、瑕疵更新方程、概率母函数的显示解、各种破产量如破产概率和赤字分布等的分析表达式，并且在索赔额服从特定分布时得到具体的易于程序化的计算公式。研究一类特殊的延迟更新过程，将期望贴现惩罚函数用普通的更新模型下相应的惩罚函数表示出来。研究离散时间延迟更新模型最终破产概率所满足的瑕疵更新方程、渐近表达式以及上下界估计；破产发生时赤字尾分布的显示表达，在初始盈余趋于无穷时获得正常的赤字尾分布的渐近结果。在索赔额服从混合几何分布时探讨一般的期望贴现惩罚函数的显示表达，并在第一次索赔发生时间服从一些特殊分布时获得具体的计算公式。对获得的理论结果进行数值分析。本项目的顺利实施将进一步推进关于离散时间更新风险模型的相关研究。

离散时间更新风险过程的破产问题是保险精算科学的一个重要研究方向。本课题主要围绕具有不同结构的离散时间更新模型的相关破产问题展开，获得的主要结果包括以下几个方面。对于普通的离散时间更新过程，获得了关于赤字分布贴现因子矩的易于程序化的计算公式。对于离散时间延迟更新风险过程，获得了贴现的恰当赤字在初始盈余趋于无穷时的渐近表达式，在索赔额服从几何分布时获得了期望贴现惩罚函数的解析表达式；当第一次索赔发生的时间服从一大类特殊的分布时，将期望贴现惩罚函数用普通的更新模型下相应的惩罚函数表示出来。研究了离散时间平稳更新过程，得到了破产概率的概率母函数的瑕疵更新方程及赤字分布的解析表达式。研究了具有随机保费收入的复合二项过程，获得了期望贴现惩罚函数所满足的差分方程以及瑕疵更新方程。研究了具有随机保费及延迟索赔的复合二项过程，得到了最终破产概率及破产前盈余及赤字分布联合分布的递推计算公式。研究了具有一般保费收入及相依结构的离散时间更新过程，其中索赔间隔时间对后续的索赔额会产生影响，得到了期望贴现惩罚函数的概率母函数的表达式，进而得到了该函数所满足的瑕疵更新方程，对于一大类索赔分布，我们获得了破产概率概率母函数的闭形式的表达式。当索赔计数过程属于一大类分布而索赔额为混合型分布时，我们得到了离散部分和连续部分的递归计算公式，并且将理论结果应用到超额损失再保险上。已完成但未公开发表的工作包括具有延迟索赔的复合二项模型、复合马尔科夫二项模型、交叉的双险种模型，以及索赔间隔时间服从位相型分布的离散时间模型。本项目的所获得的研究成果进一步推进了保险精算领域关于离散时间更新风险模型的相关研究，具有重要的理论意义和实践应用价值。