齐性空间上测度的等度分布及其在数论中的应用

Dynamics on homogeneous spaces is an important and fast developing branch of modern dynamics. Our research is about the dynamics of diagonalisable group actions on homogeneous spaces. Let A be the diagonal subgroup of SL(n,R) with positive entries in the diagonal positions and let X=SL(n,Z)\SL(n,R). We consider the topological and measure theoretical properties of the dynamical system (X,A) where A acts on X through right translation. Let us fix a probability measure on X. We investigate the properties of the translates the measure under some subset of A. Many evidences suggest that the limit measure or the limit measure on average is the probability Haar measure on X. Also we can ask that for typical points of the measure what is the orbit of it under some subset of A. It is well known that most of the topological questions are related to the Diophantine approximation of the Eulidean space. Therefore we can use our results in dynamics to solve number theory problems such as those in Diophantine appromixation.

齐性空间上的动力系统是现代动力系统领域的一个重要分支。我们主要研究的是可对角化的李群作用下的齐性动力系统。设A 是对角元为正实数的n阶对角矩阵构成的群。群A是李群SL(n,R)的Cartan子群，并且通过右平移作用在空间X=SL(n,Z)\SL(n,R)上. 我们考虑动力系统（X,A）的拓扑和测度性质。固定一个X上的概率测度。我们研究这个测度在群A的一个子集的平移作用下的变化情况。很多例子说明极限测度或者是平均意义下的极限测度是X上的概率Haar测度。我们还可以问对于给定测度的一般点在A的某个子集作用下的轨道是怎样的。此类拓扑的问题跟欧式空间的丢番图逼近有密切的关系。因此我们可以把得到的动力系统的结果用在数论中解决丢番图逼近的相关问题。

齐性空间上的动力系统是现代动力系统领域的一个重要分支. 我们主要研究的是可对角化的子群作用下的齐性动力系统. 设 A 是对角元为正实数的n 阶对角矩阵构成的群. 群 A 是李群 SL(n,R) 的 Cartan 子群, 并且通过左平移作用在空间 X=SL(n,R)/SL(n,Z) 上. 我们考虑动力系统（X,A）的拓扑和测度性质. 固定一个 X 上的概率测度. 我们研究这个测度在群 A 的一个单参数子群的平移作用下的变化情况. 很多例子说明极限测度或者是平均意义下的极限测度是 X 上的概率 Haar 测度. 我们还可以问对于给定测度的一般点在 A 的某个单参数子群作用下的轨道是怎样的. 这些齐性空间上动力系统的性质跟欧式空间的丢番图逼近有密切的关系. 因此我们可以把得到的动力系统的结果用在数论中解决丢番图逼近的相关问题. ..在项目的资助下, 我们在相关的研究领域取得了一系列在国际上有一定影响的成果. 目前项目负责人发表文章一篇, 完成文章（已经投稿）四篇. 本项目资助的研究生阮诗佺发表文章两篇.