趋化现象中交错扩散方程组解的渐近行为与爆破分析

This project is devoted to study asymptotic behavior and blow-up properties of solutions for cross-diffusion equations arising in chemotaxis, which provides with theoretical evidence to the dynamical rules of species distributions. In the project, we first study large time asymptotic behavior and blow-up for a quasilinear parabolic-parabolic chemotaxis-growth model; secondly, we consider boundedness and large time behavior for a quasilinear chemotaxis-haptotaxis model of caner invasion in higher-dimensional space; finally, we investigate global boundedness, asymptotic behavior and blow-up for chemotaxis-fluid model with logistic source and rotational sensitivity. Since these models possess the complexity of mathematics and some classical methods cannot be applied, so we shall look for new ideas and techniques to obtain deep results, in order to achieve a combination of theory and practice. We strive to achieve a breakthrough about these frontier and hot problems in mathematical biology.

本项目主要致力于几类生物趋化现象中交错扩散方程组解的渐近行为与爆破性态等定性研究，这为研究种群动态分布的规律提供了重要的理论依据。本项目主要研究一类带有logistic源的拟线性抛物-抛物趋化模型解的大时间渐近行为与爆破性质；其次，考察肿瘤入侵的拟线性趋化-趋触模型在高维空间情形下解的有界性与大时间行为；最后，讨论带有logistic源和旋转趋化敏感函数的趋化-流体模型解的全局有界性、渐近行为与爆破性态。本项目所研究的模型具有复杂的数学结构，并且已有的一些经典方法不能直接应用，需要寻找新的研究方法与技巧来得到完整而深刻的研究结果，以求达到理论与实践相结合。力争在这些前沿和热点的生物数学问题中有所突破。

本项目基本上是按原计划进行研究，首先利用先验估计、迭代技巧和能量方法，研究了几类带有logistic源的单种群趋化模型解的全局存在性、一致有界性、大时间渐近行为、收敛速率、衰减估计、有限时间爆破等问题；其次，讨论了Attaction-Repulsion趋化模型和HIV趋化模型解的全局有界性、渐近稳定性；第三，考察了带有非线性扩散的肿瘤入侵的趋化-趋触模型在高维空间情形下解的有界性与大时间行为；第四，研究了几类多种群趋化-(流体)模型解的整体存在性、有界性、渐近行为等问题；最后，对快速扩散方程的dead-core速率和Hunter-Saxton方程的适定性等问题进行全面而深入细致的研究。在这些前沿和热点的生物数学问题中取得了一系列的研究成果，为生物生态学中若干重要问题提供了一些有效的数学分析工具和思想方法。