偏微分方程特征值问题高精度有限元方法

The project intends to study asymptotically exact a posteriori guaranteed upper bounds of energy norm errors for the second-order and fourth-order elliptic eigenvalue problems. In particular, for general second-order and fourth-order elliptic eigenvalue problems, we will construct the guaranteed lower bounds of the eigenvalues on the general grids. Then, we will design the equilibrated residual flux a posteriori error estimates for nonconforming finite element methods for fourth order elliptic problems. Thirdly, we will analyze explicit bounds of L2 norm errors by energy norm errors, and consequently look for computable mesh conditions for the residal type a posteriori error estimates of the second-and fourth-order elliptic eigenvalue problems. Finally we will combine these results obtained with the equilibrated residual flux error analysis and recovery type a posteriori error analysis to develop asymptotically exact a posteriori guaranteed upper bounds of energy norm errors for these two classes of eigenvalue problems.

本项目拟研究二阶与四阶椭圆特征值问题渐近精确的确切上界的后验误差估计。特别地，将研究一般二阶和四阶椭圆特征值问题在一般网格上有逼近性的特征值确切下界的构造；设计四阶椭圆问题非协调元方法平衡残量流后验误差估计子；研究L2误差被能量误差估计的显式常数，从而分析二阶和四阶椭圆特征值问题残量型后验误差估计的可计算网格条件；将上述研究获得的方法、结论、平衡残量流后验误差分析和重构型后验误差分析有机结合，发展这两类特征值问题渐近精确的确切上界的后验误差估计子。

本项目研究工作为：利用扩充非协调旋转Q1元与Crouzeix-Raviart元研究了Stokes算子特征值的确切下界；对一般四阶椭圆特征值问题，在局部拟一致网格上，给出Morley元产生的近似特征值的渐近下界性质。当网格充分细，且离散特征函数满足一定饱和性假设的条件下，近似特征值为精确特征值的下界。对一般四阶椭圆特征值问题，在一般的正则网格上，首次对Morley元在如此弱的条件下证明其产生的近似特征值的渐近下界性质；把外推法用于求解Steklov特征值问题；对高阶H（div）BDM元，提出了利用分层内部基函数使离散磁场满足散度为零的条件。该有限元方法可用于求解MHD问题中的磁感应方程；对三维Stokes方程，在六面体网格上，提出一个一阶协调-非协调混合有限元；解决了用于解带低阶项的二阶椭圆方程的连续混合有限元构造问题，并且给出了充分必要条件；引入一种不连续最小二乘（DLS）有限元法，建立了一个适用于一般多面体网格的DLS公式，并给出严格的误差分析；研究了Heisenberg铁磁自旋链系统的（2+1）维方程；研究了一类广义非线性薛定谔系统；提出了一种双线性变换方法求解广义四阶Boussinesq方程的怪波解。